$\boxed{\implies}$ Supposons que $p$ est un projecteur de $E$. Alors $E=\text{Ker}(p)\oplus\text{Im}(p)$ et :
$$\forall(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})\in\text{Ker}(p)\times\text{Im}(p),\; p(\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2})=\vec{x}_{2}$$Ainsi, on a :
$$\forall(\vec{x}_{1},\vec{x}_{2})\in\text{Ker}(p)\times\text{Im}(p),\ p(p(\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2}))=p(\vec{x}_{2})=p(\vec{x}_{1})+p(\vec{x}_{2})=p(\vec{x}_{1}+\vec{x}_{2})$$ce qui prouve que $p^{2}=p$.
$\boxed{\impliedby}$ Réciproquement, supposons que $p^{2}=p$. Alors, on a :
$$\forall\vec{x}\in E,\;\vec{x}=(\vec{x}-p(\vec{x}))+p(\vec{x})$$Or $\vec{x}-p(\vec{x})\in\text{Ker}(p)$ puisque $p(\vec{x}-p(\vec{x}))=p(\vec{x})-p^{2}(\vec{x})=\vec{0}$ par linéarité de $p$. Ainsi, on en déduit que :
$$E=\text{Ker}(p)+\text{Im}(p)$$Soit $\vec{x}\in\text{Ker}(p)\cap\text{Im}(p)$. Toujours à l'aide de $p^{2}=p$, on obtient aisément que $\vec{x}=\vec{0}$ et donc que :
$$E=\text{Ker}(p)\oplus\text{Im}(p)$$(en dimension finie, le théorème du rang donne immédiatement ce résultat). Il reste alors à prouver que $p$ est le projecteur sur $\text{Im}(p)$ dans la direction de $\text{Ker}(p)$. On a :
$$\forall\vec{x}\in E,\; p(\vec{x})=p(\vec{x}_{K}+\vec{x}_{I})=p(\vec{x}_{I})=p^{2}(\vec{x}_{ant\acute{e}})=p(\vec{x}_{ant\acute{e}})=\vec{x}_{I}$$