Preuve : caractérisation de l'orthogonalité de sous-espaces

Supposons $F$ et $G$ de dimensions respectives $p$ et $q$.

• L'implication directe est évidente d'après la définition de l'orthogonalité de deux sous-espaces.
• Supposons que $\varphi(\vv{x_i},\vv{y_j})=0$ pour tous les couples d'indices $(i,j)\in\llbracket1,p\rrbracket\times\llbracket1,q\rrbracket$.
  Soit $\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{p}{a_i \vv{x_i}}\in F$ et $\ds\vv{y}=\sum_{j=1}^{q}{b_j \vv{y_j}}\in G$.
  Par bilinéarité du produit scalaire, on obtient :
  $$\ds\varphi(\vv{x},\vv{y})=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}a_i b_j \varphi(\vv{x_i},\vv{y_j})=0$$ Ainsi : $F\perp G$.