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Chapitre 1 : Statistiques descriptives

1.2. Statistiques à deux variables

Il s'agit maintenant de s'intéresser simultanément à deux caractères quantitatifs d'une même population (taille et poids d'un individu, abscisse et ordonnée d'un point, …).

Dans ce paragraphe et lorsque cela ne sera pas précisé, on notera $n$ la taille d'un échantillon de la population observée, $X$ et $Y$ les deux caractères mesurés et $(x_{i},y_{i})$ les couples de valeurs prises par les caractères sur l'individu $i$ de la population.

Vocabulaire

<html

<a name=“stat2”></a></html>Définition : Vocabulaire des statistiques bivariées> On appelle :
  • nuage de points : la représentation graphique du couple $(X,Y)$,
  • regroupement en classes,
  • effectif,
  • fréquence, fréquence marginale, fréquence conditionnelle,
  • point moyen du couple $(X,Y)$ : le point de coordonnées $\left(\bar{X},\bar{Y}\right)$,
  • covariance du couple $(X,Y)$, le réel :
    $$\text{Cov}(X,Y)=\overline{X.Y}-\overline{X}.\overline{Y}$$
  • coefficient de corrélation du couple $(X,Y)$, le réel (sous réserve d'existence) :
    $$r=\rho(X,Y)=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$$

Théorème : Propriétés de la covariance

  • $\text{Cov(X,X)}=\mathbb{V}(X)$ (en vertu de Koenig-Huygens).
  • La covariance est une forme bilinéaire symétrique positive.
  • $|\text{Cov}(X,Y)|\leqslant\sigma(X)\sigma(Y)$ et donc $|\rho(X,Y)|\leqslant1$.
  • $|r|=|\rho(X,Y)|=1$ si et seulement si les points du nuage sont alignés.
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