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math:2:valeurs_propres

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math:2:valeurs_propres [2020/05/10 21:19]
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math:2:valeurs_propres [2020/06/22 10:20] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 //On suppose que //$E$// est de dimension finie ou infinie//​.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. //On suppose que //$E$// est de dimension finie ou infinie//​.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$.
-  * On dit que $\lambda\in\K$ est une **valeur propre** de l'​endomorphisme $u$ si et seulement si :\\ $$\ds\exists\vv{x}\in E\setminus\{\vv*{0}{E}\}\;/\; u(\vv{x})=\lambda\vv{x}$$Un tel vecteur $\vv{x}$ est alors appelé **vecteur propre** de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$.\\ Autrement dit, $\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $u-\lambda\mathrm{Id}_{E}$ n'est pas injectif. +  * On dit que $\lambda\in\K$ est une **valeur propre** de l'​endomorphisme $u$ si et seulement si : $$\ds\exists\vv{x}\in E\setminus\{\vv{0_E}\}\;/\; u(\vv{x})=\lambda\vv{x}$$ Un tel vecteur $\vv{x}$ est alors appelé **vecteur propre** de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$.\\ Autrement dit, $\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $u-\lambda\mathrm{Id}_{E}$ n'est pas injectif. 
-  * On appelle **sous-espace propre** de $u$ associé à la valeur propre $\lambda}$ l'​ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à $\lambda$, c'est à dire l'​ensemble :\\ $$\ds E_{\lambda}(u)=\{\vv{x}\in E\,|\, u(\vv{x})=\lambda\vv{x}\}=\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})$$+  * On appelle **sous-espace propre** de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ l'​ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à $\lambda$, c'est à dire l'​ensemble : $$\ds E_{\lambda}(u)=\{\vv{x}\in E\,|\, u(\vv{x})=\lambda\vv{x}\}=\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})$$
   * L'​ensemble des valeurs propres de $u$ s'​appelle le **spectre** de $u$, on le note $\mathrm{Sp}(u)$.   * L'​ensemble des valeurs propres de $u$ s'​appelle le **spectre** de $u$, on le note $\mathrm{Sp}(u)$.
  
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   - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$ (où $\lambda\in\K$).   - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$ (où $\lambda\in\K$).
-  - Soit $f$ l'​endomorphisme de $\R^{3}$ défini par :\\ $$\ds\forall\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in\R^{3},​\;​ f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+y+z \\ x+y+z \\ x+y+z \end{pmatrix}$$Déterminer ses valeurs propres ainsi que ses sous-espaces propres. Que constate-t-on sur les sous-espaces propres ?+  - Soit $f$ l'​endomorphisme de $\R^{3}$ défini par :\\ $$\ds\forall\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in\R^{3},​\;​ f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+y+z \\ x+y+z \\ x+y+z \end{pmatrix}$$ Déterminer ses valeurs propres ainsi que ses sous-espaces propres. Que constate-t-on sur les sous-espaces propres ?
   - Soit $u$ l'​application définie sur $\R_{3}[X]$ par : pour tout polynôme $P\in\R_{3}[X]$,​ $u(P)$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^{2}$.   - Soit $u$ l'​application définie sur $\R_{3}[X]$ par : pour tout polynôme $P\in\R_{3}[X]$,​ $u(P)$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^{2}$.
     - Vérifier que $u\in\mathcal{L}(\R_{3}[X])$ puis préciser la matrice $M$ de $u$ dans la base $(1,​(X-1),​(X-1)^{2})$ de $\R_{3}[X]$.     - Vérifier que $u\in\mathcal{L}(\R_{3}[X])$ puis préciser la matrice $M$ de $u$ dans la base $(1,​(X-1),​(X-1)^{2})$ de $\R_{3}[X]$.
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 <box red round 100% | **Théorème :  [[.:​demo:​caracterisation_valeur_propre|Caractérisation des valeurs propres]]**>​ <box red round 100% | **Théorème :  [[.:​demo:​caracterisation_valeur_propre|Caractérisation des valeurs propres]]**>​
  
-//On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Les quatre propositions qui suivent sont équivalentes :\\ $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$$$$u-\lambda\mathrm{Id}_{E}\notin\mathcal{GL}(E)$$$$\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})<​\dim(E)$$$$\dim(E_{\lambda}(u))=\dim(E)-\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})>​0$$En particulier :\\ $$u\in\mathcal{GL}(E)\;​\iff\;​0\not\in\mathrm{Sp}(u)$$+//On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Les quatre propositions qui suivent sont équivalentes :\\ $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$$ $$u-\lambda\mathrm{Id}_{E}\notin\mathcal{GL}(E)$$ $$\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})<​\dim(E)$$ $$\dim(E_{\lambda}(u))=\dim(E)-\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})>​0$$ En particulier : $$u\in\mathcal{GL}(E)\;​\iff\;​0\not\in\mathrm{Sp}(u)$$
  
 </​box>​ </​box>​
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 __**Exemples**__ __**Exemples**__
  
-  - Déterminer le spectre et une base des sous-espaces propres des endomorphismes représentés dans la base canonique de $\R^{3}$ par les matrices suivantes :\\ $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$$$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ +  - Déterminer le spectre et une base des sous-espaces propres des endomorphismes représentés dans la base canonique de $\R^{3}$ par les matrices suivantes : $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ 
-  - Déterminer,​ fonction du réel $\theta$ les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u\in\mathcal{L}(\R^{2})$ défini par :\\ $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) \\  +  - Déterminer,​ fonction du réel $\theta$ les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u\in\mathcal{L}(\R^{2})$ défini par : $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) \\  
-\sin(\theta) \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}$$Même question dans le cas où $u\in\mathcal{L}(\C^{2})$.+\sin(\theta) \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ Même question dans le cas où $u\in\mathcal{L}(\C^{2})$.
  
  
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 //On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $Q$ un polynôme annulateur de $u$. //On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $Q$ un polynôme annulateur de $u$.
-  * Les valeurs propres de $u$ sont parmi les racines de $Q$, c'est à dire que :\\ $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\;​\implies\;​ Q(\lambda)=0$$Attention toutefois, la réciproque est fausse.+  * Les valeurs propres de $u$ sont parmi les racines de $Q$, c'est à dire que : $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\;​\implies\;​ Q(\lambda)=0$$ Attention toutefois, la réciproque est fausse.
   * L'​endomorphisme $u$ admet un nombre fini de valeurs propres.   * L'​endomorphisme $u$ admet un nombre fini de valeurs propres.
  
math/2/valeurs_propres.txt · Dernière modification: 2020/06/22 10:20 par Alain Guichet