math:2:valeurs_propres
Différences
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math:2:valeurs_propres [2019/12/19 10:01] – Alain Guichet | math:2:valeurs_propres [2020/06/22 10:20] (Version actuelle) – Alain Guichet | ||
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//On suppose que //$E$// est de dimension finie ou infinie// | //On suppose que //$E$// est de dimension finie ou infinie// | ||
- | * On dit que $\lambda\in\K$ est une **valeur propre** de l' | + | * On dit que $\lambda\in\K$ est une **valeur propre** de l' |
- | * On appelle **sous-espace propre** de $u$ associé à la valeur propre $\lambda}$ l' | + | * On appelle **sous-espace propre** de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ l' |
* L' | * L' | ||
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- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$ (où $\lambda\in\K$). | - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$ (où $\lambda\in\K$). | ||
- | - Soit $f$ l' | + | - Soit $f$ l' |
- Soit $u$ l' | - Soit $u$ l' | ||
- Vérifier que $u\in\mathcal{L}(\R_{3}[X])$ puis préciser la matrice $M$ de $u$ dans la base $(1, | - Vérifier que $u\in\mathcal{L}(\R_{3}[X])$ puis préciser la matrice $M$ de $u$ dans la base $(1, | ||
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<box red round 100% | **Théorème : [[.: | <box red round 100% | **Théorème : [[.: | ||
- | //On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Les quatre propositions qui suivent sont équivalentes :\\ $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$$$$u-\lambda\mathrm{Id}_{E}\notin\mathcal{GL}(E)$$$$\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})< | + | //On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Les quatre propositions qui suivent sont équivalentes :\\ $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$$ $$u-\lambda\mathrm{Id}_{E}\notin\mathcal{GL}(E)$$ $$\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})< |
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__**Exemples**__ | __**Exemples**__ | ||
- | - Déterminer le spectre et une base des sous-espaces propres des endomorphismes représentés dans la base canonique de $\R^{3}$ par les matrices suivantes :\\ $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$$$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ | + | - Déterminer le spectre et une base des sous-espaces propres des endomorphismes représentés dans la base canonique de $\R^{3}$ par les matrices suivantes : $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ |
- | - Déterminer, | + | - Déterminer, |
- | \sin(\theta) \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}$$Même question dans le cas où $u\in\mathcal{L}(\C^{2})$. | + | \sin(\theta) \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ Même question dans le cas où $u\in\mathcal{L}(\C^{2})$. |
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//On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $Q$ un polynôme annulateur de $u$. | //On suppose que //$E$// est de dimension finie//.\\ Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $Q$ un polynôme annulateur de $u$. | ||
- | * Les valeurs propres de $u$ sont parmi les racines de $Q$, c'est à dire que :\\ $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\; | + | * Les valeurs propres de $u$ sont parmi les racines de $Q$, c'est à dire que : $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\; |
* L' | * L' | ||
math/2/valeurs_propres.txt · Dernière modification : 2020/06/22 10:20 de Alain Guichet