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math:2:transfert_couple

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math:2:transfert_couple [2020/05/10 21:19]
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Alain Guichet
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 <box 100% red round | **Théorème : Théorème de transfert, 1ère partie**>​ <box 100% red round | **Théorème : Théorème de transfert, 1ère partie**>​
  
-Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose : $Z=g(X,Y)$. Alors $Z$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée par :\\ $$\ds Z(\Omega)=\left\{ g(x,​y)\mid(x,​y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\right\}$$$$\ds\forall z\in Z(\Omega),​\;​\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{\substack{x\in X(\Omega) \\ y\in Y(\Omega) \\ g(x,​y)=z}}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$De plus :\\ $$\ds\mathcal{A}_{Z}\subset\mathcal{A}_{(X,​Y)}$$En particulier,​ $X+Y$, $XY$, $\inf(X,Y)$ et $\sup(X,Y)$ sont des variables aléatoires.+Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose : $Z=g(X,Y)$. Alors $Z$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée par : $$\ds Z(\Omega)=\left\{ g(x,​y)\mid(x,​y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\right\}$$ $$\ds\forall z\in Z(\Omega),​\;​\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{\substack{x\in X(\Omega) \\ y\in Y(\Omega) \\ g(x,​y)=z}}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$ De plus : $$\ds\mathcal{A}_{Z}\subset\mathcal{A}_{(X,​Y)}$$ En particulier,​ $X+Y$, $XY$, $\inf(X,Y)$ et $\sup(X,Y)$ sont des variables aléatoires.
  
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math/2/transfert_couple.txt · Dernière modification: 2020/05/25 10:38 par Alain Guichet