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| math:2:transfert_couple [2015/10/07 11:22] – Alain Guichet | math:2:transfert_couple [2016/10/06 13:53] – Alain Guichet |
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| <box 100% red round | **Théorème : Théorème de transfert, 1ère partie**> | <box 100% red round | **Théorème : Théorème de transfert, 1ère partie**> |
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| Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose : $Z=g(X,Y)$. Alors $Z$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée par :\\ $$\ds Z(\Omega)=\left\{ g(x,y)\mid(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\right\}$$$$\ds\forall z\in Z(\Omega),\;\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{(x,y)\in g^{-1}(\{z\})}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$De plus :\\ $$\ds\mathcal{A}_{Z}\subset\mathcal{A}_{(X,Y)}$$En particulier, $X+Y$, $XY$, $\inf(X,Y)$ et $\sup(X,Y)$ sont des variables aléatoires. | Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Soit $g\colon U\to\R$ où $X(\Omega)\times Y(\Omega)\subset U\subset\R^{2}$. On pose : $Z=g(X,Y)$. Alors $Z$ est une variable aléatoire dont la loi est donnée par :\\ $$\ds Z(\Omega)=\left\{ g(x,y)\mid(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\right\}$$$$\ds\forall z\in Z(\Omega),\;\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{\substack{x\in X(\Omega) \\ y\in Y(\Omega) \\ g(x,y)=z}}{\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])}$$De plus :\\ $$\ds\mathcal{A}_{Z}\subset\mathcal{A}_{(X,Y)}$$En particulier, $X+Y$, $XY$, $\inf(X,Y)$ et $\sup(X,Y)$ sont des variables aléatoires. |
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| __**Exemple**__ | __**Exemple**__ |
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| Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant toute la même loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\sup(X,Y)$ et $I=\inf(X,Y)$. Montrer que la variable aléatoire $SI$ admet une espérance et la calculer. | Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d'un même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ et suivant toute la même loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\sup(X,Y)$ et $I=\inf(X,Y)$. |
| | - Montrer que la variable aléatoire $SI$ admet une espérance et la calculer. |
| | - Montrer que la variable aléatoire $S+I$ admet une espérance et la calculer. |
| | - Montrer que la variable aléatoire $S$ admet une espérance et la calculer. |
| | - Montrer que la variable aléatoire $|X-Y|$ admet une espérance et la calculer. |
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