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Un peu de topologie de R^n

Fonctions sur ouvert de R^n >	Topologie R^n	C^0 / C^1 sur ouvert de R^n	Classe C^2 sur ouvert de R^n	Dérivée seconde direct

Un peu de topologie de R^n

Ensembles ouverts

Définition : Pseudo-définition (=théorème admis)

Soit $\varphi$ une fonction continue sur $\R^{n}$. Soit $a$ un réel. Les ensembles :
$$\ds\left\{ M\in\R^{n}\mid\varphi(M)<a\right\} \qquad\text{et}\qquad\left\{ M\in\R^{n}\mid\varphi(M)>a\right\}$$sont des ensembles qualifiés d'ensembles ouverts dans $\R^{n}$.
$\R^{n}$ et $\varnothing$ sont qualifiés d'ensembles ouverts dans $\R^{n}$.

Exemples

Soit $A$ un point de $\R^{n}$ et $r>0$. Justifier que l'ensemble $\mathcal{B}(A,r)=\left\{ M\in\R^{n}\mid AM<r\right\}$ (boule) est ouvert.

function z=f(x,y) z=sqrt((x-xA)^2+(y-yA)^2) endfunction
xA=1 ; yA=-1 ; x=[-1:0.1:3] ; y=[-3:0.1:1] ; z=feval(x,y,f)
plot3d(x,y,z) ; contour(x,y,z,[0.1:0.1:1.6],flag=[2,2,4])

Parmi les différents types d'intervalles de $\R$, quels sont ceux qui sont ouverts ?
Dans $\R^{2}$, montrer que le demi-plan $x+y<1$ est ouvert.

Théorème : Compatibilité avec les opérations ensemblistes (admis)

Une réunion finie ou infinie d'ensembles ouverts dans $\R^{n}$ est un ensemble ouvert dans $\R^{n}$.
Une intersection finie d'ensembles ouverts dans $\R^{n}$ est un ensemble ouvert dans $\R^{n}$.
Si $(I_{1},\dots,I_{n})$ sont des intervalles ouverts de $\R$ alors le produit cartésien $I_{1}\times\dots\times I_{n}$ est un ouvert de $\R^{n}$.

Exemples

Justifier que $\left]-1,2\right[\times\left]-3,1\right[$ est ouvert dans $\R^{2}$.
Montrer que $\mathcal{O}_{1}=\{(x,y,z)\in\R^{3}\mid x>-2,\; y<1,\;-1<z<2\}$ est ouvert dans $\R^{3}$.
Montrer que $\mathcal{O}_{2}=\left\{ (x,y)\in\R^{2}\mid x+2>0,\;2x+y-1<0,\; x-y<0\right\}$ est ouvert dans $\R^{2}$.
Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Montrer que $\ds\bigcap_{k\in\N}{\left\{ M\in\R^{n}\mid AM<\frac{1}{k+1}\right\} }$ n'est pas ouvert dans $\R^{n}$.

Ensembles fermés

Définition : Pseudo-définition (=théorème admis)

Soit $\varphi$ une fonction continue sur $\R^{n}$. Soit $a$ un réel. Les ensembles :
$$\ds\left\{ M\in\R^{n}\mid\varphi(M)\leqslant a\right\} \qquad\text{et}\qquad\left\{ M\in\R^{n}\mid\varphi(M)\geqslant a\right\}$$sont des ensembles qualifiés d'ensembles fermés dans $\R^{n}$.
$\R^{n}$ et $\varnothing$ sont qualifiés d'ensembles fermés dans $\R^{n}$.

Exemples

Soit $A$ un point de $\R^{n}$ et $r>0$. Justifier que l'ensemble $\mathcal{B}_{f}(A,r)=\left\{ M\in\R^{n}\mid AM\leqslant r\right\}$ (boule) est fermé.
Parmi les différents types d'intervalles de $\R$, quels sont ceux qui sont fermés ?
Dans $\R^{2}$, montrer que le demi-plan $x+y\geqslant1$ est fermé.

Théorème : Compatibilité avec les opérations ensemblistes (admis)

Une intersection finie ou infinie d'ensembles fermés dans $\R^{n}$ est un ensemble fermé dans $\R^{n}$.
Une réunion finie d'ensembles fermés dans $\R^{n}$ est un ensemble fermé dans $\R^{n}$.
Si $(I_{1},\dots,I_{n})$ sont des intervalles fermés de $\R$ alors le produit cartésien $I_{1}\times\dots\times I_{n}$ est un fermé de $\R^{n}$.

Exemples

Justifier que $\left[-1,2\right]\times\left[-3,1\right]$ est fermé dans $\R^{2}$.
Montrer que $\mathcal{F}_{1}=\{(x,y,z)\in\R^{3}\mid x\geqslant-2,\; y\leqslant1,\;-1\leqslant z\leqslant2\}$ est fermé dans $\R^{3}$.
Montrer que $\mathcal{F}_{2}=\left\{ (x,y)\in\R^{2}\mid x+2\geqslant0,\;2x+y-1\geqslant0,\; x-y\leqslant0\right\}$ est fermé dans $\R^{2}$.
Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Montrer que $\ds\bigcap_{k\in\N}{\left\{ M\in\R^{n}\mid AM\leqslant\frac{1}{k+1}\right\} }$ est fermé mais que $\ds\bigcup_{k\in\N}{\left\{ M\in\R^{n}\mid AM\leqslant1-\frac{1}{k+1}\right\} }$ est ouvert dans $\R^{n}$.

Ensembles bornés

Définition

On dit qu'une partie $\mathcal{U}$ de $\R^{n}$ est bornée si et seulement s'il existe un réel $m>0$ tel que : $$\forall M\in\mathcal{U},\; OM\leqslant m$$

Exemples

Montrer que $\R^{n}$ n'est pas borné mais que $\vide$, une boule, un segment $[A,B]$ le sont.
Les ensembles $\mathcal{O}_{1},\mathcal{O}_{2},\mathcal{F}_{1},\mathcal{F}_{2}$ (définis lors d'exemples des paragraphes précédents) sont-ils bornés ?

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