math:2:supplementaire_orthogonal
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math:2:supplementaire_orthogonal [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:supplementaire_orthogonal [2020/05/25 10:25] – Alain Guichet | ||
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__**Exemples**__ | __**Exemples**__ | ||
- | - (résultat à connaître) Soit $\vv{x}\in E$. Montrer que :\\ $$\ds\vv{x}=\vv*{0}{E}\; | + | - (résultat à connaître) Soit $\vv{x}\in E$. Montrer que : $$\ds\vv{x}=\vv{0_E}\; |
- | - Vérifier que $\{\vv*{0}{E}\}^{\perp}=E$. | + | - Vérifier que $\{\vv{0_E}\}^{\perp}=E$. |
- Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que la somme $F+F^{\perp}$ est directe. | - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que la somme $F+F^{\perp}$ est directe. | ||
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<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Si $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{p})$ est une base d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ alors :\\ $$\ds\vv{x}\in F^{\perp}\; | + | Si $\mathcal{B}=(\vv{e_1}, |
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__**Exemples**__ | __**Exemples**__ | ||
- | - Soit $E=\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique et $F=\Vect\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \right)$. Déterminer une base de $F^{\perp}$. | + | - Soit $E=\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique et $F=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \right)$. Déterminer une base de $F^{\perp}$. |
- Déterminer $\R_{1}[X]^{\perp}$ pour le produit scalaire $\ds\left\langle P, | - Déterminer $\R_{1}[X]^{\perp}$ pour le produit scalaire $\ds\left\langle P, | ||
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<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F^{\perp}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. En particulier :\\ $$\ds\dim(F^{\perp})=\dim(E)-\dim(F)$$ | + | Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F^{\perp}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. En particulier : $$\ds\dim(F^{\perp})=\dim(E)-\dim(F)$$ |
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__**Exemples**__ | __**Exemples**__ | ||
- | - Dans $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère les plans $P$ et $P'$ d' | + | - Dans $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère les plans $P$ et $P'$ d' |
- On considère l' | - On considère l' | ||
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math/2/supplementaire_orthogonal.txt · Dernière modification : 2024/02/22 23:18 de Alain Guichet