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math:2:supplementaire_orthogonal

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math:2:supplementaire_orthogonal [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1math:2:supplementaire_orthogonal [2020/05/25 10:24] Alain Guichet
Ligne 24: Ligne 24:
 __**Exemples**__ __**Exemples**__
  
-  - (résultat à connaître) Soit $\vv{x}\in E$. Montrer que :\\ $$\ds\vv{x}=\vv*{0}{E}\;\iff\;\forall\vv{y}\in E,\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =0$$En déduire $E^{\perp}$. +  - (résultat à connaître) Soit $\vv{x}\in E$. Montrer que : $$\ds\vv{x}=\vv{0_E}\;\iff\;\forall\vv{y}\in E,\;\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =0$$ En déduire $E^{\perp}$. 
-  - Vérifier que $\{\vv*{0}{E}\}^{\perp}=E$.+  - Vérifier que $\{\vv{0_E}\}^{\perp}=E$.
   - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que la somme $F+F^{\perp}$ est directe.   - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que la somme $F+F^{\perp}$ est directe.
  
Ligne 32: Ligne 32:
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:caracterisation_orthogonal|Caractérisation de l'orthogonal en dimension finie]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:caracterisation_orthogonal|Caractérisation de l'orthogonal en dimension finie]]**>
  
-Si $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{p})$ est une base d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ alors :\\ $$\ds\vv{x}\in F^{\perp}\;\iff\;\forall i\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\left\langle \vv{x},\vv*{e}{i}\right\rangle =0$$+Si $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ est une base d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ alors : $$\ds\vv{x}\in F^{\perp}\;\iff\;\forall i\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\left\langle \vv{x},\vv{e_i}\right\rangle =0$$
  
 </box> </box>
Ligne 46: Ligne 46:
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:dimension_orthogonal|Dimension de l'orthogonal]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:dimension_orthogonal|Dimension de l'orthogonal]]**>
  
-Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F^{\perp}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. En particulier :\\ $$\ds\dim(F^{\perp})=\dim(E)-\dim(F)$$+Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F^{\perp}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$. En particulier : $$\ds\dim(F^{\perp})=\dim(E)-\dim(F)$$
  
 </box> </box>
Ligne 53: Ligne 53:
 __**Exemples**__ __**Exemples**__
  
-  - Dans $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère les plans $P$ et $P'$ d'équations cartésiennes respectives :\\ $$x+2y+3z=0\qquad\text{et}\qquad x-y-z=0$$Déterminer $P^{\perp}$ puis $(P\cap P')^{\perp}$.+  - Dans $\R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère les plans $P$ et $P'$ d'équations cartésiennes respectives : $$x+2y+3z=0\qquad\text{et}\qquad x-y-z=0$$ Déterminer $P^{\perp}$ puis $(P\cap P')^{\perp}$.
   - On considère l'espace vectoriel $\R_3[X]$ muni du produit scalaire $\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$. On pose : $F=\mathrm{Vect}(1,X)$. Déterminer une base de $F^{\perp}$.   - On considère l'espace vectoriel $\R_3[X]$ muni du produit scalaire $\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d}t}$. On pose : $F=\mathrm{Vect}(1,X)$. Déterminer une base de $F^{\perp}$.
  
  
 ^ [[:math:2:index#chapitre_06|Esp Eucli > ]] | [[:math:2:produit_scalaire|Prod scal]] | [[:math:2:norme|Norme]] | [[:math:2:orthogonalite|Ortho]] | [[:math:2:familles_orthogonales|Fam ortho]] | [[:math:2:bases_orthonormales|Bases ortho]] |  [[:math:2:supplementaire_orthogonal|Supplé ortho]] | ^ [[:math:2:index#chapitre_06|Esp Eucli > ]] | [[:math:2:produit_scalaire|Prod scal]] | [[:math:2:norme|Norme]] | [[:math:2:orthogonalite|Ortho]] | [[:math:2:familles_orthogonales|Fam ortho]] | [[:math:2:bases_orthonormales|Bases ortho]] |  [[:math:2:supplementaire_orthogonal|Supplé ortho]] |
math/2/supplementaire_orthogonal.txt · Dernière modification : 2024/02/22 23:18 de Alain Guichet