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math:2:somme_sev

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math:2:somme_sev [2020/05/11 14:41] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 Soit $(F_{1},​\dots,​F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$. Soit $(F_{1},​\dots,​F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$.
-  * On appelle **somme** des sous-espaces $F_{1},​\dots,​F_{p}$,​ le sous-ensemble de $E$ :\\ $$\ds F_{1}+\dots+F_{p}=\left\{ \vv{x}\in E\left|\;​\exists\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/​\;​\vv{x}=\vv*{x}{1}+\dots+\vv*{x}{p}\right.\right\}$$Autrement dit, tout vecteur de la somme se « décompose » en la somme (pas nécessairement unique) de vecteurs dont chacun est dans l'un des sous-espaces. +  * On appelle **somme** des sous-espaces $F_{1},​\dots,​F_{p}$,​ le sous-ensemble de $E$ :\\ $$\ds F_{1}+\dots+F_{p}=\left\{ \vv{x}\in E\left|\;​\exists\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/​\;​\vv{x}=\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}\right.\right\}$$ Autrement dit, tout vecteur de la somme se « décompose » en la somme (pas nécessairement unique) de vecteurs dont chacun est dans l'un des sous-espaces. 
-  * La somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est dite **directe** si et seulement si :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in F_{1}+\dots+F_{p},​\;​\exists!\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/​\;​\vv{x}=\vv*{x}{1}+\dots+\vv*{x}{n}$$et on note alors cette somme $F_{1}\oplus\dots\oplus F_{p}$. Autrement dit, pour tout vecteur de la somme, la « décomposition » est unique.+  * La somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est dite **directe** si et seulement si :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in F_{1}+\dots+F_{p},​\;​\exists!\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/​\;​\vv{x}=\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}$$et on note alors cette somme $F_{1}\oplus\dots\oplus F_{p}$. Autrement dit, pour tout vecteur de la somme, la « décomposition » est unique.
   * Les sous-espaces $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits **supplémentaires** si et seulement si :\\ $$\ds E=F_{1}\oplus F_{2}$$   * Les sous-espaces $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits **supplémentaires** si et seulement si :\\ $$\ds E=F_{1}\oplus F_{2}$$
  
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 __**Exemples**__\\ __**Exemples**__\\
-  - Soit $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{n}$. Donner, pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, un supplémentaire de $F_{i}$.+  - Soit $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{n}$. Donner, pour tout $i\in[\![1,n]\!]$, un supplémentaire de $F_{i}$.
   - Dans l'​espace vectoriel $E$ des suites réelles, on considère les sous-ensembles $C$ constitué des suites convergentes et $Z$ constitué des suites de limite nulle. Montrer que $C$ est un espace vectoriel, que $Z$ est un sous-espace de $C$ puis déterminer un supplémentaire de $Z$ dans $C$.   - Dans l'​espace vectoriel $E$ des suites réelles, on considère les sous-ensembles $C$ constitué des suites convergentes et $Z$ constitué des suites de limite nulle. Montrer que $C$ est un espace vectoriel, que $Z$ est un sous-espace de $C$ puis déterminer un supplémentaire de $Z$ dans $C$.
   - Soit $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $A\cap C\subset B$, $C\subset A+B$ et $B\subset C$. Montrer que : $B=C$.   - Soit $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $A\cap C\subset B$, $C\subset A+B$ et $B\subset C$. Montrer que : $B=C$.
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 <box 100% red round | **Théorème : [[.:​demo:​caracterisation_somme_directe|Caractérisations de la somme directe]]**>​ <box 100% red round | **Théorème : [[.:​demo:​caracterisation_somme_directe|Caractérisations de la somme directe]]**>​
  
-Soit $(F_{1},​\dots,​F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$. Pour tout $i\in\llbracket1,p\rrbracket$, on considère une base $\mathcal{B}_{i}$ de $F_{i}$. Les propositions suivantes sont équivalentes :+Soit $(F_{1},​\dots,​F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$. Pour tout $i[\![1,p]\!]$, on considère une base $\mathcal{B}_{i}$ de $F_{i}$. Les propositions suivantes sont équivalentes :
   - la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est directe,   - la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est directe,
-  - pour tout $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}$, si $\vv*{x}{1}+\dots+\vv*{x}{p}=\vv*{0}{E}$ alors $\vv*{x}{1}=\dots=\vv*{x}{p}=\vv*{0}{E}$,+  - pour tout $\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}$, si  $\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}=\vv{0_E}$ alors $\vv{x_1}=\dots=\vv{x_p}=\vv{0_E}$,
   - la concaténation des bases $\mathcal{B}_{1},​\dots,​\mathcal{B}_{p}$ est une base de $F_{1}+\dots+F_{p}$,​   - la concaténation des bases $\mathcal{B}_{1},​\dots,​\mathcal{B}_{p}$ est une base de $F_{1}+\dots+F_{p}$,​
   - $\dim\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)=\dim(F_{1})+\dots+\dim(F_{p})$.   - $\dim\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)=\dim(F_{1})+\dots+\dim(F_{p})$.
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 __**Remarque**__\\ __**Remarque**__\\
-On rappelle que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\left\{ \vv*{0}{E}\right\}$.+On rappelle que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\left\{ \vv{0_E}\right\}$.
  
  
 __**Exemples**__\\ __**Exemples**__\\
-  - Soit $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ une famille de vecteurs d'un espace $E$. +  - Soit $\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)$ une famille de vecteurs d'un espace $E$. 
-    - Montrer que $\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1}\right)+\dots+\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{n}\right)=\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$. +    - Montrer que $\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1}\right)+\dots+\mathrm{Vect}\left(\vv{x_n}\right)=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)$. 
-    - Démontrer que cette somme est directe si et seulement si la famille $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ est libre. +    - Démontrer que cette somme est directe si et seulement si la famille $\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_n}\right)$ est libre. 
-  - Pour $k\in\llbracket0,n\rrbracket$, on pose :\\ $$F_{k}=\textrm{Vect}(1+X+\dots+X^{2k},​1+X+\dots+X^{2k+1})$$+  - Pour $k\in[\![0,n]\!]$, on pose :\\ $$F_{k}=\textrm{Vect}(1+X+\dots+X^{2k},​1+X+\dots+X^{2k+1})$$
     - Montrer que la somme $F_{0}+\dots+F_{n}$ est directe dans $\R[X]$.     - Montrer que la somme $F_{0}+\dots+F_{n}$ est directe dans $\R[X]$.
     - Montrer que : $\R_{2n+1}[X]=F_{0}\oplus \dots\oplus F_{n}$.     - Montrer que : $\R_{2n+1}[X]=F_{0}\oplus \dots\oplus F_{n}$.
math/2/somme_sev.txt · Dernière modification: 2020/05/11 14:41 par Alain Guichet