math:2:somme_sev
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math:2:somme_sev [2019/06/30 09:57] – [Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels] Alain Guichet | math:2:somme_sev [2020/05/11 14:41] (Version actuelle) – Alain Guichet | ||
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Soit $(F_{1}, | Soit $(F_{1}, | ||
- | * On appelle **somme** des sous-espaces $F_{1}, | + | * On appelle **somme** des sous-espaces $F_{1}, |
- | * La somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est dite **directe** si et seulement si :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in F_{1}+\dots+F_{p}, | + | * La somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est dite **directe** si et seulement si :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in F_{1}+\dots+F_{p}, |
* Les sous-espaces $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits **supplémentaires** si et seulement si :\\ $$\ds E=F_{1}\oplus F_{2}$$ | * Les sous-espaces $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits **supplémentaires** si et seulement si :\\ $$\ds E=F_{1}\oplus F_{2}$$ | ||
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__**Exemples**__\\ | __**Exemples**__\\ | ||
- | - Soit $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{n}$. Donner, pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, un supplémentaire de $F_{i}$. | + | - Soit $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{n}$. Donner, pour tout $i\in[\![1,n]\!]$, un supplémentaire de $F_{i}$. |
- Dans l' | - Dans l' | ||
- Soit $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $A\cap C\subset B$, $C\subset A+B$ et $B\subset C$. Montrer que : $B=C$. | - Soit $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $A\cap C\subset B$, $C\subset A+B$ et $B\subset C$. Montrer que : $B=C$. | ||
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<box 100% red round | **Théorème : [[.: | <box 100% red round | **Théorème : [[.: | ||
- | Soit $(F_{1}, | + | Soit $(F_{1}, |
- la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est directe, | - la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est directe, | ||
- | - pour tout $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}$, si $\vv*{x}{1}+\dots+\vv*{x}{p}=\vv*{0}{E}$ alors $\vv*{x}{1}=\dots=\vv*{x}{p}=\vv*{0}{E}$, | + | - pour tout $\left(\vv{x_1}, |
- la concaténation des bases $\mathcal{B}_{1}, | - la concaténation des bases $\mathcal{B}_{1}, | ||
- $\dim\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)=\dim(F_{1})+\dots+\dim(F_{p})$. | - $\dim\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)=\dim(F_{1})+\dots+\dim(F_{p})$. | ||
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__**Remarque**__\\ | __**Remarque**__\\ | ||
- | On rappelle que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\left\{ \vv*{0}{E}\right\}$. | + | On rappelle que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\left\{ \vv{0_E}\right\}$. |
__**Exemples**__\\ | __**Exemples**__\\ | ||
- | - Soit $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ une famille de vecteurs d'un espace $E$. | + | - Soit $\left(\vv{x_1}, |
- | - Montrer que $\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1}\right)+\dots+\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{n}\right)=\mathrm{Vect}\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$. | + | - Montrer que $\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1}\right)+\dots+\mathrm{Vect}\left(\vv{x_n}\right)=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1}, |
- | - Démontrer que cette somme est directe si et seulement si la famille $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{n}\right)$ est libre. | + | - Démontrer que cette somme est directe si et seulement si la famille $\left(\vv{x_1}, |
- | - Pour $k\in\llbracket0,n\rrbracket$, on pose :\\ $$F_{k}=\textrm{Vect}(1+X+\dots+X^{2k}, | + | - Pour $k\in[\![0,n]\!]$, on pose :\\ $$F_{k}=\textrm{Vect}(1+X+\dots+X^{2k}, |
- Montrer que la somme $F_{0}+\dots+F_{n}$ est directe dans $\R[X]$. | - Montrer que la somme $F_{0}+\dots+F_{n}$ est directe dans $\R[X]$. | ||
- Montrer que : $\R_{2n+1}[X]=F_{0}\oplus \dots\oplus F_{n}$. | - Montrer que : $\R_{2n+1}[X]=F_{0}\oplus \dots\oplus F_{n}$. |
math/2/somme_sev.txt · Dernière modification : 2020/05/11 14:41 de Alain Guichet