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math:2:reduction_matrices

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math:2:reduction_matrices [2020/05/10 21:19]
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math:2:reduction_matrices [2020/06/22 10:35] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 __**Remarques**__ __**Remarques**__
  
-  * La trace est un outil pratique dans la recherche des valeurs propres d'une matrice. Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est non inversible donc 0 est valeur propre. De plus, $A$ est diagonalisable puisque symétrique donc $A$ admet une autre valeur propre $\lambda$. La trace de $A$ vaut 2 donc :\\ $$2=0+\lambda$$c'​est à dire que 2 est valeur propre de $A$.+  * La trace est un outil pratique dans la recherche des valeurs propres d'une matrice. Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est non inversible donc 0 est valeur propre. De plus, $A$ est diagonalisable puisque symétrique donc $A$ admet une autre valeur propre $\lambda$. La trace de $A$ vaut 2 donc :\\ $$2=0+\lambda$$ c'est à dire que 2 est valeur propre de $A$.
   * Attention, si une matrice n'est pas diagonalisable,​ sa trace n'est pas nécessairement égale à la somme de ses valeurs propres.   * Attention, si une matrice n'est pas diagonalisable,​ sa trace n'est pas nécessairement égale à la somme de ses valeurs propres.
  
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   * Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ admettant une unique valeur propre $\lambda$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$.   * Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ admettant une unique valeur propre $\lambda$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$.
-  * Déterminer,​ si possible, deux matrices réelles $P$ (inversible) et $D$ (diagonale) telles que $A=PDP^{-1}$ dans les cas suivants :\\ $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$$$A=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$+  * Déterminer,​ si possible, deux matrices réelles $P$ (inversible) et $D$ (diagonale) telles que $A=PDP^{-1}$ dans les cas suivants : $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
  
  
 <box red round 100% | **Théorème : Puissances successives d'une matrice diagonalisable**>​ <box red round 100% | **Théorème : Puissances successives d'une matrice diagonalisable**>​
  
-Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ une matrice diagonalisable dans $\K$ telle que $A=P\, D\, P^{-1}$ où $P$ est une matrice inversible et $D$ est une matrice diagonale. Alors :\\ $$\ds\forall k\in\N,\; A^{k}=P\, D^{k}\, P^{-1}$$+Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ une matrice diagonalisable dans $\K$ telle que $A=P\, D\, P^{-1}$ où $P$ est une matrice inversible et $D$ est une matrice diagonale. Alors : $$\ds\forall k\in\N,\; A^{k}=P\, D^{k}\, P^{-1}$$
  
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math/2/reduction_matrices.txt · Dernière modification: 2020/06/22 10:35 par Alain Guichet