math:2:reduction_matrices
Différences
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math:2:reduction_matrices [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:reduction_matrices [2020/06/22 10:35] (Version actuelle) – Alain Guichet | ||
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__**Remarques**__ | __**Remarques**__ | ||
- | * La trace est un outil pratique dans la recherche des valeurs propres d'une matrice. Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est non inversible donc 0 est valeur propre. De plus, $A$ est diagonalisable puisque symétrique donc $A$ admet une autre valeur propre $\lambda$. La trace de $A$ vaut 2 donc :\\ $$2=0+\lambda$$c' | + | * La trace est un outil pratique dans la recherche des valeurs propres d'une matrice. Par exemple, la matrice $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ est non inversible donc 0 est valeur propre. De plus, $A$ est diagonalisable puisque symétrique donc $A$ admet une autre valeur propre $\lambda$. La trace de $A$ vaut 2 donc :\\ $$2=0+\lambda$$ c'est à dire que 2 est valeur propre de $A$. |
* Attention, si une matrice n'est pas diagonalisable, | * Attention, si une matrice n'est pas diagonalisable, | ||
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* Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ admettant une unique valeur propre $\lambda$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$. | * Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ admettant une unique valeur propre $\lambda$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$. | ||
- | * Déterminer, | + | * Déterminer, |
<box red round 100% | **Théorème : Puissances successives d'une matrice diagonalisable**> | <box red round 100% | **Théorème : Puissances successives d'une matrice diagonalisable**> | ||
- | Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ une matrice diagonalisable dans $\K$ telle que $A=P\, D\, P^{-1}$ où $P$ est une matrice inversible et $D$ est une matrice diagonale. Alors :\\ $$\ds\forall k\in\N,\; A^{k}=P\, D^{k}\, P^{-1}$$ | + | Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ une matrice diagonalisable dans $\K$ telle que $A=P\, D\, P^{-1}$ où $P$ est une matrice inversible et $D$ est une matrice diagonale. Alors : $$\ds\forall k\in\N,\; A^{k}=P\, D^{k}\, P^{-1}$$ |
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math/2/reduction_matrices.txt · Dernière modification : 2020/06/22 10:35 de Alain Guichet