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math:2:reduction_endomorphisme_symetrique

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math:2:reduction_endomorphisme_symetrique [2020/05/10 21:19]
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math:2:reduction_endomorphisme_symetrique [2020/06/22 11:08] (Version actuelle)
Alain Guichet
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   * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ alors ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.   * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ alors ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
-  * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ et si $\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}$ sont des vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ alors la famille $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ est orthogonale.+  * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ et si $\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_p}$ sont des vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ alors la famille $\left(\vv{x_1},​\dots,​\vv{x_p}\right)$ est orthogonale.
  
 </​box>​ </​box>​
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 __**Exemple**__ __**Exemple**__
  
-Soit $a\in\R$ et $u\in\mathcal{L}(\R^{3})$ tel que :\\ $$u\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}$$$$u\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a\\ +Soit $a\in\R$ et $u\in\mathcal{L}(\R^{3})$ tel que : $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\1 \\1 \end{pmatrix}$$ Justifier que $u$ est un endomorphisme symétrique puis le diagonaliser dans une base orthonormale.
-1\\1\end{pmatrix}$$$$u\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix}$$Justifier que $u$ est un endomorphisme symétrique puis le diagonaliser dans une base orthonormale.+
  
  
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​decomposition_matrice_symetrique|Décomposition en combinaison de projecteurs de rang 1]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[:​math:​2:​demo:​decomposition_matrice_symetrique|Décomposition en combinaison de projecteurs de rang 1]]**>
  
-Soit $A$ une matrice symétrique réelle de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, notant $(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})$ les valeurs propres de $A$ et $(X_{1},​\dots,​X_{n})$ une base orthonormale de vecteurs propres de $A$ telle que $AX_{i}=\lambda_{i}X_{i}$ pour tout entier $i\in\llbracket1,​n\rrbracket$,​ on a :\\ $$\ds A=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}X_{i}{}^{t}X_{i}}=\lambda_{1}X_{1}{}^{t}X_{1}+\dots+\lambda_{n}X_{n}{}^{t}X_{n}$$En particulier,​ $A$ est combinaison linéaire de $n$ matrices de projecteurs de rang 1.+Soit $A$ une matrice symétrique réelle de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, notant $(\lambda_{1},​\dots,​\lambda_{n})$ les valeurs propres de $A$ et $(X_{1},​\dots,​X_{n})$ une base orthonormale de vecteurs propres de $A$ telle que $AX_{i}=\lambda_{i}X_{i}$ pour tout entier $i\in\llbracket1,​n\rrbracket$,​ on a : $$\ds A=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}X_{i}{}^{t}X_{i}}=\lambda_{1}X_{1}{}^{t}X_{1}+\dots+\lambda_{n}X_{n}{}^{t}X_{n}$$ En particulier,​ $A$ est combinaison linéaire de $n$ matrices de projecteurs de rang 1.
  
 </​box>​ </​box>​
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 __**Exemple**__ __**Exemple**__
  
-Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. Soit $\lambda_{1}<​\dots<​\lambda_{k}$ ses valeurs propres distinctes et $F_{1},​\dots,​F_{k}$ ses sous-espaces propres associés respectifs. Montrer que :\\ $$u=\lambda_{1}p_{F_{1}}+\dots+\lambda_{k}p_{F_{k}}$$+Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. Soit $\lambda_{1}<​\dots<​\lambda_{k}$ ses valeurs propres distinctes et $F_{1},​\dots,​F_{k}$ ses sous-espaces propres associés respectifs. Montrer que : $$u=\lambda_{1}p_{F_{1}}+\dots+\lambda_{k}p_{F_{k}}$$
  
  
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math/2/reduction_endomorphisme_symetrique.txt · Dernière modification: 2020/06/22 11:08 par Alain Guichet