math:2:reduction_endomorphisme_symetrique
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math:2:reduction_endomorphisme_symetrique [2019/06/30 12:01] – [Cas des matrices symétriques] Alain Guichet | math:2:reduction_endomorphisme_symetrique [2020/06/22 11:08] (Version actuelle) – Alain Guichet | ||
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* Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ alors ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. | * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ alors ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. | ||
- | * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ et si $\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}$ sont des vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ alors la famille $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ est orthogonale. | + | * Si $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ et si $\vv{x_1}, |
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__**Exemple**__ | __**Exemple**__ | ||
- | Soit $a\in\R$ et $u\in\mathcal{L}(\R^{3})$ tel que :\\ $$u\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}$$$$u\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a\\ | + | Soit $a\in\R$ et $u\in\mathcal{L}(\R^{3})$ tel que : $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a \\1 \\1 \end{pmatrix}$$ Justifier que $u$ est un endomorphisme symétrique puis le diagonaliser dans une base orthonormale. |
- | 1\\1\end{pmatrix}$$$$u\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix}$$Justifier que $u$ est un endomorphisme symétrique puis le diagonaliser dans une base orthonormale. | + | |
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<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Soit $A$ une matrice symétrique réelle de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, notant $(\lambda_{1}, | + | Soit $A$ une matrice symétrique réelle de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, notant $(\lambda_{1}, |
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__**Exemple**__ | __**Exemple**__ | ||
- | Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. Soit $\lambda_{1}< | + | Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. Soit $\lambda_{1}< |
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math/2/reduction_endomorphisme_symetrique.txt · Dernière modification : 2020/06/22 11:08 de Alain Guichet