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Propriétés des intégrales généralisées
Théorème
On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Alors, pour toute suite $(u_{n})_{n\in\N}$ d'éléments de $[a,b[$ telle que $u_{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{} b$, on a :
$$\ds\int_{a}^{u_{n}}{f(t)\mathrm{d} t}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
Remarques
- Par contraposition, s'il existe une suite $(u_{n})_{n\in\N}$ de limite $b$ telle que la suite $\ds\left(\int_{a}^{u_{n}}{f(t)\mathrm{d} t}\right)_{n\in\N}$ diverge alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ diverge.
- Il est faux de croire que si la suite des intégrales $\ds\left(\int_{a}^{u_{n}}{f(t)\mathrm{d} t}\right)_{n\in\N}$ converge pour une certaine suite $(u_{n})_{n\in\N}$ de limite $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge.
Exemple : l'intégrale, $\ds\int_{0}^{+\infty}{\cos(t)\mathrm{d} t}$ diverge alors que pour $u_{n}=2\pi n\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty$ on a $\ds\int_{0}^{u_{n}}{\cos(t)\mathrm{d} t}=0\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
Théorème : Relation de Chasles
On suppose que $f$ est continue sur $[a,b[$. Alors, pour tout réel $c\in[a,b[$, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ sont de la même nature. De plus, en cas de convergence de l'une de ces intégrales, on a :
$$\ds\forall c\in[a,b[,\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
Définition
On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Pour tout réel $x\in[a,b[$, on appelle reste de l'intégrale impropre sur l'intervalle $[x,b[$ le réel $\ds\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}-\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$.
Théorème
On suppose que l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ impropre en $b$ est convergente. Alors le reste de l'intégrale tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $b$ :
$$\ds\lim_{x\to b}{\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}}=0$$
Théorème : Linéarité
On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$. Soit $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$. Si les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ convergent alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{(\lambda f(t)+\mu g(t))\mathrm{d} t}$ converge et on a :
$$\ds\int_{a}^{b}{(\lambda f(t)+\mu g(t))\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$
Remarque
L'intégrale de la combinaison linéaire peut être convergente sans qu'aucune des deux intégrales (de $f$ et de $g$) ne converge.
Théorème : Positivité et croissance
On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$.
- Si $f$ est positive sur $[a,b[$ et si $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge alors $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\geqslant0$.
- Si $f$ est positive sur $[a,b[$, si $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge et si $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=0$ alors $f$ est nulle sur $[a,b[$.
- Si $f\leqslant g$ sur $[a,b[$ et si les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ convergent alors $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$.
Exemple : Inégalité de Cauchy-Schwarz
On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$ et que les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d} t}$, $\ds\int_{a}^{b}{f(t)^{2}\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)^{2}\mathrm{d} t}$ convergent. Démontrer que :
$$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\sqrt{\int_{a}^{b}{f(t)^{2}\mathrm{d} t}}\times\sqrt{\int_{a}^{b}{g(t)^{2}\mathrm{d} t}}$$À quelle condition nécessaire et suffisante (portant sur $f$ et $g$) a-t-on l'égalité ?
Théorème : Intégration par parties
Nous n'énoncerons pas de théorème particulier. Dans la pratique, pour effectuer une intégration par parties sur une intégrale impropre, on se ramènera d'abord à une intégrale sur un segment (cf la définition de la convergence de l'intégrale impropre) puis on effectuera l'intégration par parties proprement dite et enfin on passera à la limite sur la(les) borne(s) impropre(s) de l'intégrale.
Exemple
Convergence et calcul de l'intégrale : $\ds\int_{0}^{+\infty}{t^{n}\mathrm{e}^{-t}}\mathrm{d} t$ pour tout entier naturel $n$.
Théorème : Changement de variable
On suppose que $f$ est continue sur $]a,b[$ ($a$ et $b$ pouvant être infinis). Soit $u\colon\left]\alpha,\beta\right[\to\left]a,b\right[$ une application de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]\alpha,\beta[$ et bijective de $]\alpha,\beta[$ dans $]a,b[$. Alors, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$ sont de la même nature. De plus, en cas de convergence et si $u$ est strictement croissante sur $]\alpha,\beta[$, on a :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$Dans le cas où $u$ est strictement décroissante, il convient de permuter soit les bornes $a$ et $b$ soit les bornes $\alpha$ et $\beta$.
Exemples
- Convergence et calcul de $\ds\int_{0}^{+\infty}{\frac{\mathrm{d} x}{a^{2}+x^{2}}}$ en fonction du réel $a>0$.
- Soit $f$ une fonction continue et paire sur $\R$.
- Montrer que les intégrales $\ds\int_{0}^{+\infty}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{-\infty}^{0}{f(t)\mathrm{d} t}$ sont de la même nature.
- Que peut-on dire de ces deux intégrales en cas de convergence ?
- Convergence et calcul de $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}}$.
- Montrer que :
$$\ds\int_{0}^{+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{-u}}{\sqrt{u}}\mathrm{d} u}=2\int_{0}^{+\infty}{\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d} t}$$(on pourra poser $t=\sqrt{u}$). - On pose : $\forall x\in\R,\; f(x)=1\!\!1_{[0,1]}(x)$. Existence et expression de $\ds h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)f(x-t)\mathrm{d} t}$ en fonction du réel $x$.
Remarques
- Tout changement de variable non affine devra être indiqué.
- Bien remarquer que les intervalles sont ouverts lors du changement de variable. Il se peut que la fonction $u$ ne soit pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'intervalle fermé (par exemple, la fonction racine carrée en 0).