| Les deux révisions précédentesRévision précédente | Dernière révisionLes deux révisions suivantes |
| math:2:projection_orthogonale [2020/06/21 23:42] – Alain Guichet | math:2:projection_orthogonale [2020/06/21 23:44] – Alain Guichet |
|---|
| |
| </box> | </box> |
| | |
| |
| {{ :math:2:projete_dim3_orthogonal.png?nolink&600 |}} | {{ :math:2:projete_dim3_orthogonal.png?nolink&600 |}} |
| param3d(x(1)+t*u(1),x(2)+t*u(2),x(3)+t*u(3)) | param3d(x(1)+t*u(1),x(2)+t*u(2),x(3)+t*u(3)) |
| </code> | </code> |
| | |
| |
| __**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
| |
| Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace de $E$. | Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace de $E$. |
| * Soit $(\vv*{u}{1},\dots,\vv*{u}{m})$ une base orthonormale de $F$, sous-espace de $E$. Alors :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,\; p_{F}(\vv{x})=\sum_{k=1}^{m}{\left\langle x,\vv*{u}{k}\right\rangle \vv*{u}{k}}$$ | * Soit $(\vv{u_1},\dots,\vv{u_m})$ une base orthonormale de $F$, sous-espace de $E$. Alors : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\; p_{F}(\vv{x})=\sum_{k=1}^{m}{\left\langle x,\vv{u_k}\right\rangle \vv{u_k}}$$ |
| * Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ une base orthonormale de $E$. On note $U_{1},\dots,U_{m}$ les colonnes de coordonnées des vecteurs $\vv*{u}{1},\dots,\vv*{u}{m}$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors :\\ $$\ds\text{Mat}_{\mathcal{B}}(p_{F})=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}$$ | * Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base orthonormale de $E$. On note $U_{1},\dots,U_{m}$ les colonnes de coordonnées des vecteurs $\vv{u_1},\dots,\vv{u_m}$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors : $$\ds\text{Mat}_{\mathcal{B}}(p_{F})=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}$$ |
| |
| </box> | </box> |
| __**Exemple**__ | __**Exemple**__ |
| |
| On considère l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$ muni du produit scalaire :\\ $$\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d} t}$$On pose : $F=\text{Vect}(1,X)$. Déterminer $p_{F}(1+X+X^{2}+X^{3})$. | On considère l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$ muni du produit scalaire : $$\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d} t}$$ On pose : $F=\text{Vect}(1,X)$. Déterminer $p_{F}(1+X+X^{2}+X^{3})$. |
| |
| |
| ^ **[[:math:2:index#projecteur_symetrie|Proj/Sym > ]]** | [[:math:2:projecteur_symetrie|Généralités]] | [[:math:2:projection_orthogonale|Proj ortho]] | [[:math:2:probleme_minimalisation|Minimalisation]] | | ^ **[[:math:2:index#projecteur_symetrie|Proj/Sym > ]]** | [[:math:2:projecteur_symetrie|Généralités]] | [[:math:2:projection_orthogonale|Proj ortho]] | [[:math:2:probleme_minimalisation|Minimalisation]] | |
