Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:projection_orthogonale [2020/06/21 22:37] – Alain Guichet
+++ math:2:projection_orthogonale [2020/06/21 23:44] – Alain Guichet
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 </box>
 {{ :math:2:projete_dim3_orthogonal.png?nolink&600 |}}
+<code=scilab>
+// plan P de projection
+// P=Vect(i,j)
+plot3d([-1,1],[-1,1],[0,0;0,0])
+// droite D de direction de projection
+// D=Vect(k) avec u=(0,0,1)=0.i+0.j+1.k
+u=[0,0,3]
+t=[-0.2,1] ; param3d(t*u(1),t*u(2),t*u(3))
+// vecteur x à projeter sur P parallèlement à D
+// x=(-1/2,1/2,1/2)=(-1/2).i+1/2.j+1/2.k
+x=[-1/2,1/2,2]
+t=[0,1] ; param3d(t*x(1),t*x(2),t*x(3))
+// vecteurs xP et xD
+param3d(t*x(1),t*x(2),t*0)
+param3d(t*0,t*0,t*x(3))
+// trace pour règle du parallélogramme
+t=[-1,0.4]
+param3d(x(1)+t*u(1),x(2)+t*u(2),x(3)+t*u(3))
+</code>
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 Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace de $E$.
-  * Soit $(\vv*{u}{1},\dots,\vv*{u}{m})$ une base orthonormale de $F$, sous-espace de $E$. Alors :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,\; p_{F}(\vv{x})=\sum_{k=1}^{m}{\left\langle x,\vv*{u}{k}\right\rangle \vv*{u}{k}}$$
+  * Soit $(\vv{u_1},\dots,\vv{u_m})$ une base orthonormale de $F$, sous-espace de $E$. Alors : $$\ds\forall\vv{x}\in E,\; p_{F}(\vv{x})=\sum_{k=1}^{m}{\left\langle x,\vv{u_k}\right\rangle \vv{u_k}}$$
-  * Soit $\mathcal{B}=(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{n})$ une base orthonormale de $E$. On note $U_{1},\dots,U_{m}$ les colonnes de coordonnées des vecteurs $\vv*{u}{1},\dots,\vv*{u}{m}$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors :\\ $$\ds\text{Mat}_{\mathcal{B}}(p_{F})=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}$$
+  * Soit $\mathcal{B}=(\vv{e_1},\dots,\vv{e_n})$ une base orthonormale de $E$. On note $U_{1},\dots,U_{m}$ les colonnes de coordonnées des vecteurs $\vv{u_1},\dots,\vv{u_m}$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors : $$\ds\text{Mat}_{\mathcal{B}}(p_{F})=\sum_{i=1}^{m}{U_{i}{}^{t}U_{i}}$$
 </box>
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 __**Exemple**__
-On considère l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$ muni du produit scalaire :\\ $$\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d} t}$$On pose : $F=\text{Vect}(1,X)$. Déterminer $p_{F}(1+X+X^{2}+X^{3})$.
+On considère l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$ muni du produit scalaire : $$\ds\left\langle P,Q\right\rangle =\int_{0}^{1}{P(t)Q(t)\mathrm{d} t}$$ On pose : $F=\text{Vect}(1,X)$. Déterminer $p_{F}(1+X+X^{2}+X^{3})$.
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