math:2:produit_scalaire
Différences
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math:2:produit_scalaire [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:produit_scalaire [2020/05/25 09:39] – Alain Guichet | ||
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On dit qu'une application $\varphi\colon E\times E\to\R$ est un **produit scalaire** sur $E$ si et seulement si $\varphi$ est une **forme** : | On dit qu'une application $\varphi\colon E\times E\to\R$ est un **produit scalaire** sur $E$ si et seulement si $\varphi$ est une **forme** : | ||
- | * **bilinéaire** :\\ $$\ds\forall(\vv*{x}{1},\vv*{x}{2}, | + | * **bilinéaire** :\\ $$\ds\forall(\vv{x_1},\vv{x_2}, |
* **symétrique** :\\ $$\ds\forall(\vv{x}, | * **symétrique** :\\ $$\ds\forall(\vv{x}, | ||
* **positive** :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E, | * **positive** :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E, | ||
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- Montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires sur $E$ : | - Montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires sur $E$ : | ||
- | - $E=\R^{n}$ et, pour tous vecteurs $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$ de $E$ :\\ $$\ds\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$$Ce produit scalaire est appelé **produit scalaire canonique** ou **produit scalaire euclidien** de $\R^{n}$. | + | - $E=\R^{n}$ et, pour tous vecteurs $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$ de $E$ :\\ $$\ds\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$$ Ce produit scalaire est appelé **produit scalaire canonique** ou **produit scalaire euclidien** de $\R^{n}$. |
- $E=\mathcal{C}^0([a, | - $E=\mathcal{C}^0([a, | ||
- $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :\\ $$\ds \left\langle P, | - $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :\\ $$\ds \left\langle P, | ||
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<box 100% red round | **[[: | <box 100% red round | **[[: | ||
- | Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. Alors :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E, | + | Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. Alors :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E, |
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math/2/produit_scalaire.txt · Dernière modification : 2024/02/21 22:09 de Alain Guichet