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math:2:problematique_estimation

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math:2:problematique_estimation [2020/05/10 21:19]
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math:2:problematique_estimation [2020/05/25 10:48] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 __**Exemples**__ __**Exemples**__
  
-  - Le premier exemple ci-dessus correspond à la situation :\\ $$\ds\Theta=\left]0,​1\right[\subset\R$$$$\mu_{\theta}=\mathcal{B}(1,​\theta)$$$$g(\theta)=\theta$$$$\Omega_{\theta}=\left\{ 0,1\right\} ^{\N^{*}}$$$$\forall k\in\N^{*},​\;​\mathbb{P}_{\theta}(X_{k}=1)=\theta,​\;​\mathbb{P}_{\theta}(X_{k}=0)=1-\theta$$ +  - Le premier exemple ci-dessus correspond à la situation : $$\ds\Theta=\left]0,​1\right[\subset\R$$ $$\mu_{\theta}=\mathcal{B}(1,​\theta)$$ $$g(\theta)=\theta$$ $$\Omega_{\theta}=\left\{ 0,1\right\} ^{\N^{*}}$$ $$\forall k\in\N^{*},​\;​\mathbb{P}_{\theta}(X_{k}=1)=\theta,​\;​\mathbb{P}_{\theta}(X_{k}=0)=1-\theta$$ 
-    - **Moyenne empirique** :\\ $$\ds\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{n}$$$$\ds\bar{X}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\frac{1}{n}\left(X_{1}+\dots+X_{n}\right)$$ +    - **Moyenne empirique** : $$\ds\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{n}$$ $$\ds\bar{X}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\frac{1}{n}\left(X_{1}+\dots+X_{n}\right)$$ 
-    - **Variance empirique** :\\ $$\ds\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\frac{1}{n}\left(x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}\right)-\left[\frac{1}{n}\left(x_{1}+\dots+x_{n}\right)\right]^{2}$$$$\ds\bar{V}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})$$ +    - **Variance empirique** : $$\ds\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\frac{1}{n}\left(x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}\right)-\left[\frac{1}{n}\left(x_{1}+\dots+x_{n}\right)\right]^{2}$$ $$\ds\bar{V}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})$$ 
-  - Le second exemple ci-dessus correspond à la situation :\\ $$\Theta=\left\{ (a,​b)\in\R^{2}\mid a<​b\right\} \subset\R^{2}$$$$\mu_{(a,​b)}=\mathcal{U}([a,​b])$$$$g(a,​b)=b-a$$$$\Omega_{(a,​b)}=\left[a,​b\right]^{\N^{*}}$$$$\ds\forall x\in\R,​\forall k\in\N^{*},​\;​\mathbb{P}_{(a,​b)}(X_{k}\leqslant x)=\frac{x-a}{b-a}1\!\!1_{[a,​b]}(x)+1\!\!1_{[b,​+\infty[}$$ +  - Le second exemple ci-dessus correspond à la situation : $$\Theta=\left\{ (a,​b)\in\R^{2}\mid a<​b\right\} \subset\R^{2}$$ $$\mu_{(a,​b)}=\mathcal{U}([a,​b])$$ $$g(a,​b)=b-a$$ $$\Omega_{(a,​b)}=\left[a,​b\right]^{\N^{*}}$$ $$\ds\forall x\in\R,​\forall k\in\N^{*},​\;​\mathbb{P}_{(a,​b)}(X_{k}\leqslant x)=\frac{x-a}{b-a}1\!\!1_{[a,​b]}(x)+1\!\!1_{[b,​+\infty[}$$ 
-    - **Minimum empirique** :\\ $$\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\min\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}$$$$\bar{I}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\min\{X_{1},​\dots,​X_{n}\}$$ +    - **Minimum empirique** : $$\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\min\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}$$ $$\bar{I}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\min\{X_{1},​\dots,​X_{n}\}$$ 
-    - **Maximum empirique** :\\ $$\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\max\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}$$$$\bar{S}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\max\{X_{1},​\dots,​X_{n}\}$$ +    - **Maximum empirique** : $$\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\max\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}$$ $$\bar{S}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\max\{X_{1},​\dots,​X_{n}\}$$ 
-    - **Étendue empirique** :\\ $$\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\max\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}-\min\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}$$$$\bar{E}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\bar{S}_{n}-\bar{I}_{n}$$+    - **Étendue empirique** : $$\varphi_{n}(x_{1},​\dots,​x_{n})=\max\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}-\min\{x_{1},​\dots,​x_{n}\}$$ $$\bar{E}_{n}=\varphi_{n}(X_{1},​\dots,​X_{n})=\bar{S}_{n}-\bar{I}_{n}$$
  
  
math/2/problematique_estimation.txt · Dernière modification: 2020/05/25 10:48 par Alain Guichet