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math:2:point_critique

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math:2:point_critique [2014/11/21 00:24] Alain Guichetmath:2:point_critique [2020/05/10 21:19] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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-^ **[[:math:2:index#chapitre_11 | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |+^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_r_n | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |
  
  
Ligne 5: Ligne 5:
  
  
-\begin{defi}+<box green round 100% | **Définition**>
  
-Soit f +Soit $fest définie sur $\R^{n}$. Soit $Aun point de $\R^{n}$. 
-  est définie sur \R^{n} +  * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp**minimum**) **global** en $A$ sur $\R^{n}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall M\in\R^{n},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$ 
- . Soit A +  * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **local** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\exists r>0\;/\:\forall M\in\R^{n},\;\|\vv{AM}\|\leqslant r\;\implies\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$
-  un point de \R^{n} +
- .+
  
-• On dit que f +</box>
-  admet un maximum (resp. minimum) globalMaximum/minimum absolu en A +
-  sur \R^{n} +
-  si et seulement si:\forall M\in\R^{n},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A) +
- +
  
-• On dit que f 
-  admet un maximum (resp. minimum) localMaximum/minimum absolu en A 
-  si et seulement si:\exists r>0\;/\:\forall M\in\R^{n},\;\|\vv{AM}\|\leqslant r\;\implies\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A) 
-  
  
-\end{defi}+__**Exemples**__
  
-\begin{exs}+  - Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur $\R^{n}$. 
 +  - Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{2}$ par $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$ admet un maximum local en $(0,0)$ et que ce maximum n'est pas global sur $\R^{2}$. La fonction $f$ admet-elle un minimum global sur $\R^{2}$ ? En quel(s) point(s) est-il atteint le cas échéant ?
  
-1. Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur \R^{n} 
- . 
  
-2. Justifier que la fonction f +<box green round 100% | **Définition**>
-  définie sur \R^{2} +
-  par f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2}) +
-  pour (x,y)\ne(0,0) +
-  et f(0,0)=0 +
-  admet un maximum local en (0,0) +
-  et que ce maximum n'est pas global sur \R^{2} +
- . La fonction f +
-  admet-elle un minimum global sur \R^{2} +
- ? En quel(s) point(s) est-il atteint le cas échéant?+
  
-\end{exs}+On suppose que $f$ admet des fonctions dérivée partielles sur $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\R^{n}$ est un **point critique** de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$, autrement dit si et seulement si :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\partial_{i}(f)(A)=0$$
  
-\begin{defi}+</box>
  
-On suppose que f 
-  admet des fonctions dérivée partielles sur \R^{n} 
- . On dit qu'un point A 
-  \R^{n} 
-  est un point critiquePoint critique de la fonction f 
-  si et seulement si \nabla f(A)=\vv{0} 
- , autrement dit si et seulement si:\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\partial_{i}(f)(A)=0 
-  
  
-\end{defi}+__**Remarque**__
  
-\begin{rem}+En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu'elles existent, ce qui est le cas lorsque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$).
  
-En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu'elles existent, ce qui est le cas lorsque f 
-  est de classe \mathcal{C}^{1} 
- ). 
  
-\end{rem}+<box red round 100% | **Théorème : Condition nécessaire d'existence**>
  
-\begin{theo}[Condition nécessaire d'existence]+On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors $A$  est un point critique de $f$.
  
-On suppose que f +</box>
-  est de classe \mathcal{C}^{1} +
-  sur \R^{n} +
- . Si f +
-  admet un extremum local en A +
-  alors A +
-  est un point critique de f +
- .+
  
-\end{theo} 
  
 +__**Exemples**__
  
 +Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global.
 +  - $f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$.
 +  - $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
 +  - $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x$
 +  - $f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}+x$
  
-\begin{exs} 
  
-Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si f +__**Remarque**__
-  y admet ou non un extremum local voire global.+
  
-1f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} +La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremumUn tel point est appelé **point col** ou **point selle**.
-  pour (x,y)\ne(0,0) +
-  et f(0,0)=0 +
- .+
  
-2. f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} 
-  
  
-3. f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x +^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_r_n | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |
-  +
- +
-4. f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}+x +
-  +
- +
-\end{exs} +
- +
-\begin{rem} +
- +
-La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremum. Un tel point est appelé point col ou point selle. +
- +
-\end{rem} +
- +
-^ **[[:math:2:index#chapitre_11 | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |+
  
math/2/point_critique.1416525854.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/10 21:16 (modification externe)