Différences
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math:2:nzq [2020/05/10 23:27] – [Nombres entiers et récurrence, nombres rationnels] Alain Guichet | math:2:nzq [2020/05/12 08:29] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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__**Remarques**__\\ | __**Remarques**__\\ |
* <html><a name="quatre_sommes"></a></html>On peut montrer par [[.:demo:4_sommes|récurrence]] que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :\\ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$$$\ds\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}=\begin{cases} | * <html><a name="quatre_sommes"></a></html>On peut montrer par **[[.:demo:4_sommes|récurrence]]** que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :\\ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}=\begin{cases} n+1 & \text{si}\; q=1\\ \ds\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si}\; q\ne1 \end{cases}$$ Cette dernière somme s'applique encore dans le cas où $q\in\C$.\\ //Remarque// : Même si le programme officiel ne l'exige pas, il convient de connaître les résultats des sommes 2 et 3 de cette liste ainsi qu'une technique pour les retrouver (la récurrence n'étant pas la seule). |
n+1 & \si\; q=1\\ | * <html><a name="telescopage"></a></html>Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Pour tout couple $(m,n)$ d'entiers tels que $n\geqslant m\geqslant p$, on a :\\ $${\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}}$$ //Remarque// : Il convient de connaitre ce résultat dit de **[[:math:2:demo:telescopage|télescopage]]**. |
\ds\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \si\; q\ne1 | |
\end{cases}$$Cette dernière somme s'applique encore dans le cas où $q\in\C$.\\ //Remarque// : Même si le programme officiel ne l'exige pas, il convient de connaître les résultats des sommes 2 et 3 de cette liste ainsi qu'une technique pour les retrouver (la récurrence n'étant pas la seule). | |
* <html><a name="telescopage"></a></html>Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Pour tout couple $(m,n)$ d'entiers tels que $n\geqslant m\geqslant p$, on a :\\ $${\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}}$$//Remarque// : Il convient de connaitre ce résultat dit de **[[:math:2:demo:telescopage|télescopage]]**. | |
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