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| math:2:nzq [2020/05/10 23:27] – Alain Guichet | math:2:nzq [2020/05/12 08:29] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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| __**Remarques**__\\ | __**Remarques**__\\ |
| * <html><a name="quatre_sommes"></a></html>On peut montrer par [[.:demo:4_sommes|récurrence]] que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :\\ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$$$\ds\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}=\begin{cases} | * <html><a name="quatre_sommes"></a></html>On peut montrer par **[[.:demo:4_sommes|récurrence]]** que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :\\ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}=\begin{cases} n+1 & \text{si}\; q=1\\ \ds\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si}\; q\ne1 \end{cases}$$ Cette dernière somme s'applique encore dans le cas où $q\in\C$.\\ //Remarque// : Même si le programme officiel ne l'exige pas, il convient de connaître les résultats des sommes 2 et 3 de cette liste ainsi qu'une technique pour les retrouver (la récurrence n'étant pas la seule). |
| n+1 & \si\; q=1\\ | * <html><a name="telescopage"></a></html>Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Pour tout couple $(m,n)$ d'entiers tels que $n\geqslant m\geqslant p$, on a :\\ $${\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}}$$ //Remarque// : Il convient de connaitre ce résultat dit de **[[:math:2:demo:telescopage|télescopage]]**. |
| \ds\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \si\; q\ne1 | |
| \end{cases}$$Cette dernière somme s'applique encore dans le cas où $q\in\C$.\\ //Remarque// : Même si le programme officiel ne l'exige pas, il convient de connaître les résultats des sommes 2 et 3 de cette liste ainsi qu'une technique pour les retrouver (la récurrence n'étant pas la seule). | |
| * <html><a name="telescopage"></a></html>Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Pour tout couple $(m,n)$ d'entiers tels que $n\geqslant m\geqslant p$, on a :\\ $${\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}}$$//Remarque// : Il convient de connaitre ce résultat dit de **[[:math:2:demo:telescopage|télescopage]]**. | |
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| __**Exemple**__\\ | __**Exemple**__\\ |
| Soit $a\in\C$ et $n\in\N$. Soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\C^{n}$ tel que :\\ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{\lambda_{k}(X-a)^{k}}=\Theta$$Montrer que :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket,\;\lambda_{k}=0$$ | Soit $a\in\C$ et $n\in\N$. Soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\C^{n}$ tel que :\\ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{\lambda_{k}(X-a)^{k}}=\Theta$$ Montrer que :\\ $$\ds\forall k\in[\![0,n]\!],\;\lambda_{k}=0$$ |
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