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math:2:mnpk

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math:2:mnpk [2020/05/10 23:04]
Alain Guichet
math:2:mnpk [2020/05/12 08:12] (Version actuelle)
Alain Guichet
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   * Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle **matrice (rectangulaire)** à $n$ lignes et $p$ colonnes tout tableau de scalaires de la forme :\\ $$\ds\begin{pmatrix}a_{1,​1} & \ldots & a_{1,p}\\   * Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle **matrice (rectangulaire)** à $n$ lignes et $p$ colonnes tout tableau de scalaires de la forme :\\ $$\ds\begin{pmatrix}a_{1,​1} & \ldots & a_{1,p}\\
-\vdots &  & \vdots\\ +\vdots &  & \vdots\\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,p]\!],\; a_{i,​j}\in\K$$ ($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne). 
-a_{n,1} & \ldots & a_{n,p} +  * L'​ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,​j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$.
-\end{pmatrix}$$où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,p\rrbracket,\; a_{i,​j}\in\K$$($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne). +
-  * L'​ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,​j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ +
-1\leqslant j\leqslant p +
-} +
-}$.+
   * Dans le cas où $n=p$, on parle de **matrice carrée**, on note généralement $(a_{i,​j})_{1\leqslant i,​j\leqslant n}$ et l'​ensemble des telles matrices est noté $\mathcal{M}_{n}(\K)$.   * Dans le cas où $n=p$, on parle de **matrice carrée**, on note généralement $(a_{i,​j})_{1\leqslant i,​j\leqslant n}$ et l'​ensemble des telles matrices est noté $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
   * On notera, dans ce document, $\Theta$ la matrice nulle.   * On notera, dans ce document, $\Theta$ la matrice nulle.
   * On parle de **matrice ligne** dans le cas où $n=1$, de **matrice colonne** (ou vecteur) lorsque $p=1$.   * On parle de **matrice ligne** dans le cas où $n=1$, de **matrice colonne** (ou vecteur) lorsque $p=1$.
-  * Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ et tout $j\in\llbracket1,p\rrbracket$, on appelle **matrice élémentaire** d'​indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$,​ notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.+  * Pour tout $i\in[\![1,n]\!]$ et tout $j\in[\![1,p]\!]$, on appelle **matrice élémentaire** d'​indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$,​ notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.
   * Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et le même coefficient pour chaque couple $(i,j)$ d'​indices.   * Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et le même coefficient pour chaque couple $(i,j)$ d'​indices.
  
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   * **Opérations d'​espace vectoriel**. Pour $A=(a_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$,​ $B=(b_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ (même taille) et $\lambda\in\K$ :\\ $$A+B=(a_{i,​j}+b_{i,​j})\qquad\text{et}\qquad\lambda\cdot A=(\lambda a_{i,j})$$   * **Opérations d'​espace vectoriel**. Pour $A=(a_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$,​ $B=(b_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ (même taille) et $\lambda\in\K$ :\\ $$A+B=(a_{i,​j}+b_{i,​j})\qquad\text{et}\qquad\lambda\cdot A=(\lambda a_{i,j})$$
-  * **Opération de multiplication interne**. Pour $A=(a_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ et $B=(b_{i,​j})\in\mathcal{M}_{p,​q}(\K)$ :\\ $$A\times B=(c_{i,​j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ +  * **Opération de multiplication interne**. Pour $A=(a_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ et $B=(b_{i,​j})\in\mathcal{M}_{p,​q}(\K)$ :\\ $$A\times B=(c_{i,​j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant q}}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,q]\!],\; c_{i,​j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,​k}b_{k,​j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'​obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$. 
-1\leqslant j\leqslant q +  * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,​i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$$ L'​opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'​indices,​ à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.
-} +
-}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,q\rrbracket,\; c_{i,​j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,​k}b_{k,​j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'​obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$. +
-  * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,​j})\in\mathcal{M}_{n,​p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,​i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ +
-1\leqslant j\leqslant p +
-} +
-}$$ L'​opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'​indices,​ à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.+
  
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math/2/mnpk.txt · Dernière modification: 2020/05/12 08:12 par Alain Guichet