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| math:2:mnpk [2020/05/12 08:12] – Alain Guichet | math:2:mnpk [2020/08/30 23:43] (Version actuelle) – [Matrices] Alain Guichet |
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| <box 100% green round | **Définition**> | <box 100% green round | **Définition**> |
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| La base $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ | La base $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est appelée **base canonique** de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$. |
| 1\leqslant,j\leqslant p | |
| } | |
| }$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est appelée **base canonique** de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$. | |
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| </box> | </box> |
| __**Remarques**__\\ | __**Remarques**__\\ |
| * On tolère comme quatrième opération élémentaire la composée d'une multiplication avec une combinaison (dans un sens ou dans l'autre) : $L_{i}\leftarrow aL_{i}+bL_{j}$ avec $a\ne0$ et $i\ne j$. | * On tolère comme quatrième opération élémentaire la composée d'une multiplication avec une combinaison (dans un sens ou dans l'autre) : $L_{i}\leftarrow aL_{i}+bL_{j}$ avec $a\ne0$ et $i\ne j$. |
| * • Chaque opération élémentaire sur les ligne d'une matrice correspond à la multiplication à gauche par une certaine matrice inversible. | * Chaque opération élémentaire sur les ligne d'une matrice correspond à la multiplication à gauche par une certaine matrice inversible. |
| * La méthode du **pivot de Gauss** appliquée à une matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est une succession d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ jusqu'à obtenir une matrice $A'$ qualifiée d'**échelonnée en lignes** c'est à dire que, sur chaque ligne de $A'$, le premier coefficient non nul (appelé **pivot**) a un numéro de colonne strictement supérieur au pivot de la ligne qui la précède (si une ligne est nulle alors toutes les lignes qui suivent doivent être nulles). Le **rang** de la matrice $A$ est alors égal au nombre de pivots (non nuls) de $A'$ ou encore au nombre de lignes non nulles de $A'$ (ce nombre est invariant quelle que soit la technique d'échelonnement). Les matrices $A$ et $A'$ ont le même rang : le rang d'une matrice est invariant par une opération élémentaire sur une ligne. | * La méthode du **pivot de Gauss** appliquée à une matrice $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est une succession d'opérations élémentaires sur les lignes de $A$ jusqu'à obtenir une matrice $A'$ qualifiée d'**échelonnée en lignes** c'est à dire que, sur chaque ligne de $A'$, le premier coefficient non nul (appelé **pivot**) a un numéro de colonne strictement supérieur au pivot de la ligne qui la précède (si une ligne est nulle alors toutes les lignes qui suivent doivent être nulles). Le **rang** de la matrice $A$ est alors égal au nombre de pivots (non nuls) de $A'$ ou encore au nombre de lignes non nulles de $A'$ (ce nombre est invariant quelle que soit la technique d'échelonnement). Les matrices $A$ et $A'$ ont le même rang : le rang d'une matrice est invariant par une opération élémentaire sur une ligne. |
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