Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:mnpk [2020/05/10 23:04] – Alain Guichet
+++ math:2:mnpk [2020/05/12 08:12] – Alain Guichet
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   * Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle **matrice (rectangulaire)** à $n$ lignes et $p$ colonnes tout tableau de scalaires de la forme :\\ $$\ds\begin{pmatrix}a_{1,1} & \ldots & a_{1,p}\\
-\vdots &  & \vdots\\
+\vdots &  & \vdots\\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,p]\!],\; a_{i,j}\in\K$$ ($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne).
-a_{n,1} & \ldots & a_{n,p}
+  * L'ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$.
-\end{pmatrix}$$où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,p\rrbracket,\; a_{i,j}\in\K$$($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne).
-  * L'ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
-\leqslant j\leqslant p
-}
-}$.
   * Dans le cas où $n=p$, on parle de **matrice carrée**, on note généralement $(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et l'ensemble des telles matrices est noté $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
   * On notera, dans ce document, $\Theta$ la matrice nulle.
   * On parle de **matrice ligne** dans le cas où $n=1$, de **matrice colonne** (ou vecteur) lorsque $p=1$.
-  * Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ et tout $j\in\llbracket1,p\rrbracket$, on appelle **matrice élémentaire** d'indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.
+  * Pour tout $i\in[\![1,n]\!]$ et tout $j\in[\![1,p]\!]$, on appelle **matrice élémentaire** d'indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.
   * Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et le même coefficient pour chaque couple $(i,j)$ d'indices.
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   * **Opérations d'espace vectoriel**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ (même taille) et $\lambda\in\K$ :\\ $$A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})\qquad\text{et}\qquad\lambda\cdot A=(\lambda a_{i,j})$$
-  * **Opération de multiplication interne**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ :\\ $$A\times B=(c_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
+  * **Opération de multiplication interne**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ :\\ $$A\times B=(c_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant q}}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,q]\!],\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.
-\leqslant j\leqslant q
+  * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$$ L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.
-}
-}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,q\rrbracket,\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.
-  * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
-\leqslant j\leqslant p
-}
-}$$ L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.
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