Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:mnpk [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1
+++ math:2:mnpk [2020/05/12 08:12] – Alain Guichet
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   * Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On appelle **matrice (rectangulaire)** à $n$ lignes et $p$ colonnes tout tableau de scalaires de la forme :\\ $$\ds\begin{pmatrix}a_{1,1} & \ldots & a_{1,p}\\
-\vdots &  & \vdots\\
+\vdots &  & \vdots\\ a_{n,1} & \ldots & a_{n,p} \end{pmatrix}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,p]\!],\; a_{i,j}\in\K$$ ($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne).
-a_{n,1} & \ldots & a_{n,p}
+  * L'ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$.
-\end{pmatrix}$$où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,p\rrbracket,\; a_{i,j}\in\K$$($i$ est le numéro de ligne et $j$ le numéro de colonne).
-  * L'ensemble des telles matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et un de ses éléments se note $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
-\leqslant j\leqslant p
-}
-}$.
   * Dans le cas où $n=p$, on parle de **matrice carrée**, on note généralement $(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et l'ensemble des telles matrices est noté $\mathcal{M}_{n}(\K)$.
   * On notera, dans ce document, $\Theta$ la matrice nulle.
   * On parle de **matrice ligne** dans le cas où $n=1$, de **matrice colonne** (ou vecteur) lorsque $p=1$.
-  * Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$ et tout $j\in\llbracket1,p\rrbracket$, on appelle **matrice élémentaire** d'indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.
+  * Pour tout $i\in[\![1,n]\!]$ et tout $j\in[\![1,p]\!]$, on appelle **matrice élémentaire** d'indice $(i,j)$ la matrice de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, notée $E_{i,j}$, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$ qui vaut 1.
   * Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même nombre de lignes, le même nombre de colonnes et le même coefficient pour chaque couple $(i,j)$ d'indices.
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   * **Opérations d'espace vectoriel**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$, $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ (même taille) et $\lambda\in\K$ :\\ $$A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})\qquad\text{et}\qquad\lambda\cdot A=(\lambda a_{i,j})$$
-  * **Opération de multiplication interne**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ :\\ $$A\times B=(c_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
+  * **Opération de multiplication interne**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B=(b_{i,j})\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ :\\ $$A\times B=(c_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant q}}$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;\forall j\in[\![1,q]\!],\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.
-\leqslant j\leqslant q
+  * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant j\leqslant p}}$$ L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.
-}
-}$$où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,q\rrbracket,\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.
-  * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
-\leqslant j\leqslant p
-}
-}$$L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$.
 </box>
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 <box 100% red round | **Théorème : Propriétés des opérations matricielles**>
-  * L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ muni des deux opérations d'addition et de multiplication externe est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n\times p$ dont une base est la famille des matrices élémentaires $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\
+  * L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ muni des deux opérations d'addition et de multiplication externe est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n\times p$ dont une base est la famille des matrices élémentaires $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant,j\leqslant p}}$.
-\leqslant,j\leqslant p
-}
-}$.
   * La multiplication interne des matrices (lorsqu'elle est définie, ce qui est le cas en particulier pour des matrices carrées de même taille) est associative (on supprime les parenthèses et les symboles de multiplication) et distributive par rapport à l'addition. Par contre :
     * //la multiplication des matrices n'est pas commutative//,
     * //il est faux de croire que// : $AB=\Theta\;\implies\; A=\Theta\;\text{ou}\; B=\Theta$,
     * //en général, les identités remarquables sont fausses//.
-  * L'application $A\mapsto\trans{A}$ est linéaire et involutive de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ dans $\mathcal{M}_{p,n}(\K)$.\\ De plus, si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ alors :\\ $${}^{t}(AB)={}^{t}B\,{}^{t}A$$
+  * L'application $A\mapsto{}^{t}A$ est linéaire et involutive de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ dans $\mathcal{M}_{p,n}(\K)$.\\ De plus, si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ alors :\\ $${}^{t}(AB)={}^{t}B\,{}^{t}A$$
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