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| math:2:mnpk [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:mnpk [2020/05/10 23:04] – Alain Guichet |
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| 1\leqslant j\leqslant q | 1\leqslant j\leqslant q |
| } | } |
| }$$où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,q\rrbracket,\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$. | }$$ où l'on a :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\forall j\in\llbracket1,q\rrbracket,\; c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}b_{k,j}$$ On dit que le coefficient $c_{i,j}$ s'obtient par «produit» de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$. |
| * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ | * **Opération de transposition**. Pour $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ :\\ $$\ds{}^{t}A=(a_{j,i})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ |
| 1\leqslant j\leqslant p | 1\leqslant j\leqslant p |
| } | } |
| }$$L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$. | }$$ L'opération de transposition consiste donc, pour tout couple $(i,j)$ d'indices, à transformer la ligne $i$ de la matrice $A$ en la colonne $i$ de ${}^{t}A$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ en la ligne $j$ de ${}^{t}A$. |
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| <box 100% red round | **Théorème : Propriétés des opérations matricielles**> | <box 100% red round | **Théorème : Propriétés des opérations matricielles**> |
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| * L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ muni des deux opérations d'addition et de multiplication externe est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n\times p$ dont une base est la famille des matrices élémentaires $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ | * L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ muni des deux opérations d'addition et de multiplication externe est un $\K$-espace vectoriel de dimension $n\times p$ dont une base est la famille des matrices élémentaires $(E_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\ 1\leqslant,j\leqslant p}}$. |
| 1\leqslant,j\leqslant p | |
| } | |
| }$. | |
| * La multiplication interne des matrices (lorsqu'elle est définie, ce qui est le cas en particulier pour des matrices carrées de même taille) est associative (on supprime les parenthèses et les symboles de multiplication) et distributive par rapport à l'addition. Par contre : | * La multiplication interne des matrices (lorsqu'elle est définie, ce qui est le cas en particulier pour des matrices carrées de même taille) est associative (on supprime les parenthèses et les symboles de multiplication) et distributive par rapport à l'addition. Par contre : |
| * //la multiplication des matrices n'est pas commutative//, | * //la multiplication des matrices n'est pas commutative//, |
| * //il est faux de croire que// : $AB=\Theta\;\implies\; A=\Theta\;\text{ou}\; B=\Theta$, | * //il est faux de croire que// : $AB=\Theta\;\implies\; A=\Theta\;\text{ou}\; B=\Theta$, |
| * //en général, les identités remarquables sont fausses//. | * //en général, les identités remarquables sont fausses//. |
| * L'application $A\mapsto\trans{A}$ est linéaire et involutive de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ dans $\mathcal{M}_{p,n}(\K)$.\\ De plus, si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ alors :\\ $${}^{t}(AB)={}^{t}B\,{}^{t}A$$ | * L'application $A\mapsto{}^{t}A$ est linéaire et involutive de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ dans $\mathcal{M}_{p,n}(\K)$.\\ De plus, si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\K)$ alors :\\ $${}^{t}(AB)={}^{t}B\,{}^{t}A$$ |
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