Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:mnk [2020/05/12 08:04] – [Définition] Alain Guichet
+++ math:2:mnk [2023/12/10 22:53] (Version actuelle) – [Similitude] Alain Guichet
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 __**Exemple fondamental**__\\
-Montrer que toute matrice carrée de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ se décompose de manière unique en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
+Montrer que toute matrice carrée de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ se décompose de manière unique en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
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 <box 100% green round | **Définition : Trace**>
-On appelle **trace** d'une matrice $A=(a_{i,j})$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ la somme de ses éléments diagonaux :\\
+On appelle **trace** d'une matrice $A=(a_{i,j})$ de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ la somme de ses éléments diagonaux :\\
 $$\ds\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,i}}$$
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 __**Exemple fondamental (mais hors programme)**__\\
-Montrer que :\\ $$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\K)^{2},\;\mathrm{tr}(BA)=\mathrm{tr}(AB)$$
+Montrer que :\\ $$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2},\;\mathrm{tr}(BA)=\mathrm{tr}(AB)$$
+__**Remarque**__ : L'égalité est même encore valide lorsque $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $B\in\mathcal{M}_{p,n}(\R)$.
-<html><a name="linearite_trace"></a></html>
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:linearite_trace|Linéarité de la trace]]**>
-La trace est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_{n}(\K)$ :\\ $$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\K)^{2},\;\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\mathrm{tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda\,\mathrm{tr}(A)+\mu\,\mathrm{tr}(B)$$
+La trace est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_{n}(\R)$ :\\ $$\forall(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2},\;\forall(\lambda,\mu)\in\R^{2},\;\mathrm{tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda\,\mathrm{tr}(A)+\mu\,\mathrm{tr}(B)$$
 </box>
-===== Puissance =====
+===== Puissances =====
-<box 100% green round | **Définitions : Puissances et polynôme d'une matrice carrée**>
+<box 100% green round | **Définitions : Puissances et polynômes d'une matrice carrée**>
-  * On définit les **puissances** de $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ par récurrence :\\ $$A^{0}=I_{n}\qquad\text{et}\qquad \forall k\in\N,\ A^{k+1}=A^{k}\times A=A\times A^{k}$$
+  * On définit les **puissances** de $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ par récurrence :\\ $$A^{0}=I_{n}\qquad\text{et}\qquad \forall k\in\N,\ A^{k+1}=A^{k}\times A=A\times A^{k}$$
-  * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. Pour tout polynôme $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{q}X^{q}\in\K[X]$, on note $Q(A)$ la matrice appelée **polynôme en** $\boldsymbol{A}$ :\\ $$Q(A)=a_{0}I_{n}+a_{1}A+\dots+a_{q}A^{q}$$
+  * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Pour tout polynôme $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{q}X^{q}\in\R[X]$, on note $Q(A)$ la matrice appelée **polynôme en** $\boldsymbol{A}$ :\\ $$Q(A)=a_{0}I_{n}+a_{1}A+\dots+a_{q}A^{q}$$
 </box>
-<html><a name="propriete_puissance_polynome_matrice"></a></html>
 <box 100% red round | **Théorème : Propriété des puissances et des polynômes d'une matrice carrée**>
 Soit $n\in\N^*$.
-  * $\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\K),\;\forall(p,q)\in\N^{2},\ A^{p+q}=A^{p}\times A^{q}=A^{q}\times A^{p}$.\\ En particulier :\\ $$\ds \forall A\in\mathcal{M}_{n}(\K),\;\forall(Q_{1},Q_{2})\in\K[X]^{2},\;Q_{1}(A)\times Q_{2}(A)=Q_{2}(A)\times Q_{1}(A)$$
+  * $\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\R),\;\forall(p,q)\in\N^{2},\ A^{p+q}=A^{p}\times A^{q}=A^{q}\times A^{p}$.\\ En particulier :\\ $$\ds \forall A\in\mathcal{M}_{n}(\R),\;\forall(Q_{1},Q_{2})\in\R[X]^{2},\;Q_{1}(A)\times Q_{2}(A)=Q_{2}(A)\times Q_{1}(A)$$
-  * $\forall p\in\N,\;\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\left[\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\right]^{p}=\text{diag}(\lambda_{1}^{p},\dots,\lambda_{n}^{p})$.\\ En conséquence :\\ $$\ds \forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\;\forall Q\in\K[X],\;Q\left(\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\right)=\text{diag}(Q(\lambda_{1}),\dots,Q(\lambda_{n}))$$
+  * $\forall p\in\N,\;\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\R^{n},\;\left[\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\right]^{p}=\text{diag}(\lambda_{1}^{p},\dots,\lambda_{n}^{p})$.\\ En conséquence :\\ $$\ds \forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\R^{n},\;\forall Q\in\R[X],\;Q\left(\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\right)=\text{diag}(Q(\lambda_{1}),\dots,Q(\lambda_{n}))$$
-  * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. Si $A^{m}$ est combinaison linéaire des matrices $I_{n},A,\dots,A^{m-1}$ alors $A^{k}$ l'est aussi pour tout $k\geqslant m$.
+  * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Si $A^{m}$ est combinaison linéaire des matrices $I_{n},A,\dots,A^{m-1}$ alors $A^{k}$ l'est aussi pour tout $k\geqslant m$.
 </box>
-<html><a name="binome_newton_matrices"></a></html>
+===== Binôme de Newton =====
 <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:binome_newton_matrices|Formule du binôme de Newton]]**>
-Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\K)^{2}$ tel que $\boxed{AB=BA}$. Alors :\\ $$\ds\forall p\in\N,\ (A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{p-k}B^{k}}$$
+Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2}$ tel que $\boxed{AB=BA}$. Alors :\\ $$\ds\forall p\in\N,\ (A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{k}B^{p-k}}=\sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}A^{p-k}B^{k}}$$
 </box>
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 <box 100% green round | **Définition : Inverse d'une matrice carrée**>
-  * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. On dit que la matrice $A$ est **inversible** si et seulement si :\\ $$\ds\exists B\in\mathcal{M}_{n}(\K)\ /\ AB=BA=I_{n}$$Cette matrice $B$ est alors appelée **inverse** de $A$ et se note$ A^{-1}$.
+  * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. On dit que la matrice $A$ est **inversible** si et seulement si :\\ $$\ds\exists B\in\mathcal{M}_{n}(\R)\ /\ AB=BA=I_{n}$$Cette matrice $B$ est alors appelée **inverse** de $A$ et se note$ A^{-1}$.
-  * L'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ inversibles est appelé **groupe linéaire d'ordre** $n$ et se note $\mathcal{GL}_{n}(\K)$.
+  * L'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ inversibles est appelé **groupe linéaire d'ordre** $n$ et se note $\mathcal{GL}_{n}(\R)$.
 </box>
-<html><a name="unicite_inverse_matrice"></a></html>
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:unicite_inverse_matrice|Unicité de l'inverse]]**>
   * Lorsqu'il existe, l'inverse d'une matrice carrée est unique.
-  * [admis] Si $(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\K)^{2}$ sont telles que $AB=I_{n}$ (resp. $BA=I_{n}$) alors $BA=I_{n}$ (resp. $AB=I_{n}$).
+  * [admis] Si $(A,B)\in\mathcal{M}_{n}(\R)^{2}$ sont telles que $AB=I_{n}$ (resp. $BA=I_{n}$) alors $BA=I_{n}$ (resp. $AB=I_{n}$).
 </box>
-<html><a name="propriete_inverse_matrice"></a></html>
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:propriete_inverse_matrice|Propriétés de l'inverse]]**>
-Soit $(A,B)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)^{2}$, $\lambda\in\K^{*}$ et $(p,q)\in\N^{2}$.
+Soit $(A,B)\in\mathcal{GL}_{n}(\R)^{2}$, $\lambda\in\R^{*}$ et $(p,q)\in\N^{2}$.
-  * Inverse et multiplication par un réel :\\ $$(\lambda A)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$$
+  * Inverse et multiplication par un réel :\\ $$(\lambda A)\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$$
-  * Inverse et multiplication des matrices :\\ $$(AB)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
+  * Inverse et multiplication des matrices :\\ $$(AB)\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
-  * Inverse et puissances :\\ $$A^{p}\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad (A^{p})^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{p}$$On note alors $A^{-p}$ l'inverse de $A^{p}$. Ainsi, on a :\\ $$A^{p}A^{-q}=A^{p-q}$$
+  * Inverse et puissances :\\ $$A^{p}\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad (A^{p})^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{p}$$On note alors $A^{-p}$ l'inverse de $A^{p}$. Ainsi, on a :\\ $$A^{p}A^{-q}=A^{p-q}$$
-  * Inverse et transposée :\\ $${}^{t}A\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad\left({}^{t}A\right)^{-1}={}^{t}\left(A^{-1}\right)$$
+  * Inverse et transposée :\\ $${}^{t}A\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad\left({}^{t}A\right)^{-1}={}^{t}\left(A^{-1}\right)$$
 </box>
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-<html><a name="matrices_inversibles_evidentes"></a></html>
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:matrices_inversibles_evidentes|Matrices carrées inversible «à vue d'oeil»]]**>
@@ Ligne 128: / Ligne 127: @@
 <box 100% green round | **Définition : Matrices semblables**>
-  * On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ sont **semblables** si et seulement s'il existe une matrice inversible $P\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ telle que: $B=P^{-1}\,A\,P$.
+  * On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ sont **semblables** si et seulement s'il existe une matrice inversible $P\in\mathcal{GL}_{n}(\R)$ telle que: $B=P^{-1}\,A\,P$.
-  * On dit qu'une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est **diagonalisable** si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D\in\mathcal{M}_{n}(\K)$.
+  * On dit qu'une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est **diagonalisable** si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D\in\mathcal{M}_{n}(\R)$.
 </box>
-<html><a name="invariance_trace_par_similitude"></a></html>
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:invariance_trace_par_similitude|Invariance de la trace par similitude]]**>
-Deux matrices semblables ont la même trace. Autrement dit :\\ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\K),\;\forall P\in\mathcal{GL}_{n}(\K),\;\mathrm{tr}(P^{-1}\,A\,P)=\mathrm{tr}(A)$$
+Deux matrices semblables ont la même trace. Autrement dit :\\ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\R),\;\forall P\in\mathcal{GL}_{n}(\R),\;\mathrm{tr}(P^{-1}\,A\,P)=\mathrm{tr}(A)$$
 </box>