math:2:mnk
Différences
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math:2:mnk [2020/05/12 08:04] – [Définition] Alain Guichet | math:2:mnk [2023/12/10 22:53] (Version actuelle) – [Similitude] Alain Guichet | ||
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__**Exemple fondamental**__\\ | __**Exemple fondamental**__\\ | ||
- | Montrer que toute matrice carrée de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ se décompose de manière unique en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. | + | Montrer que toute matrice carrée de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ se décompose de manière unique en la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique. |
Ligne 26: | Ligne 26: | ||
<box 100% green round | **Définition : Trace**> | <box 100% green round | **Définition : Trace**> | ||
- | On appelle **trace** d'une matrice $A=(a_{i, | + | On appelle **trace** d'une matrice $A=(a_{i, |
$$\ds\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i, | $$\ds\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i, | ||
Ligne 33: | Ligne 33: | ||
__**Exemple fondamental (mais hors programme)**__\\ | __**Exemple fondamental (mais hors programme)**__\\ | ||
- | Montrer que :\\ $$\forall(A, | + | Montrer que :\\ $$\forall(A, |
+ | |||
+ | __**Remarque**__ : L' | ||
- | < | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | La trace est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_{n}(\K)$ :\\ $$\forall(A, | + | La trace est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_{n}(\R)$ :\\ $$\forall(A, |
</ | </ | ||
- | ===== Puissance | + | ===== Puissances |
- | <box 100% green round | **Définitions : Puissances et polynôme | + | <box 100% green round | **Définitions : Puissances et polynômes |
- | * On définit les **puissances** de $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ par récurrence :\\ $$A^{0}=I_{n}\qquad\text{et}\qquad \forall k\in\N,\ A^{k+1}=A^{k}\times A=A\times A^{k}$$ | + | * On définit les **puissances** de $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ par récurrence :\\ $$A^{0}=I_{n}\qquad\text{et}\qquad \forall k\in\N,\ A^{k+1}=A^{k}\times A=A\times A^{k}$$ |
- | * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. Pour tout polynôme $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{q}X^{q}\in\K[X]$, on note $Q(A)$ la matrice appelée **polynôme en** $\boldsymbol{A}$ :\\ $$Q(A)=a_{0}I_{n}+a_{1}A+\dots+a_{q}A^{q}$$ | + | * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Pour tout polynôme $Q=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{q}X^{q}\in\R[X]$, on note $Q(A)$ la matrice appelée **polynôme en** $\boldsymbol{A}$ :\\ $$Q(A)=a_{0}I_{n}+a_{1}A+\dots+a_{q}A^{q}$$ |
</ | </ | ||
- | < | ||
<box 100% red round | **Théorème : Propriété des puissances et des polynômes d'une matrice carrée**> | <box 100% red round | **Théorème : Propriété des puissances et des polynômes d'une matrice carrée**> | ||
Soit $n\in\N^*$. | Soit $n\in\N^*$. | ||
- | * $\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\K), | + | * $\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\R), |
- | * $\forall p\in\N, | + | * $\forall p\in\N, |
- | * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. Si $A^{m}$ est combinaison linéaire des matrices $I_{n}, | + | * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Si $A^{m}$ est combinaison linéaire des matrices $I_{n}, |
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- | < | + | ===== Binôme de Newton ===== |
<box 100% red round | **Théorème : [[.: | <box 100% red round | **Théorème : [[.: | ||
- | Soit $(A, | + | Soit $(A, |
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Ligne 77: | Ligne 79: | ||
<box 100% green round | **Définition : Inverse d'une matrice carrée**> | <box 100% green round | **Définition : Inverse d'une matrice carrée**> | ||
- | * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. On dit que la matrice $A$ est **inversible** si et seulement si :\\ $$\ds\exists B\in\mathcal{M}_{n}(\K)\ /\ AB=BA=I_{n}$$Cette matrice $B$ est alors appelée **inverse** de $A$ et se note$ A^{-1}$. | + | * Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. On dit que la matrice $A$ est **inversible** si et seulement si :\\ $$\ds\exists B\in\mathcal{M}_{n}(\R)\ /\ AB=BA=I_{n}$$Cette matrice $B$ est alors appelée **inverse** de $A$ et se note$ A^{-1}$. |
- | * L' | + | * L' |
</ | </ | ||
- | < | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
* Lorsqu' | * Lorsqu' | ||
- | * [admis] Si $(A, | + | * [admis] Si $(A, |
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- | < | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Soit $(A, | + | Soit $(A, |
- | * Inverse et multiplication par un réel :\\ $$(\lambda A)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$$ | + | * Inverse et multiplication par un réel :\\ $$(\lambda A)\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$$ |
- | * Inverse et multiplication des matrices :\\ $$(AB)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$ | + | * Inverse et multiplication des matrices :\\ $$(AB)\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$ |
- | * Inverse et puissances :\\ $$A^{p}\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad (A^{p})^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{p}$$On note alors $A^{-p}$ l' | + | * Inverse et puissances :\\ $$A^{p}\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad (A^{p})^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{p}$$On note alors $A^{-p}$ l' |
- | * Inverse et transposée :\\ $${}^{t}A\in\mathcal{GL}_{n}(\K)\qquad\text{et}\qquad\left({}^{t}A\right)^{-1}={}^{t}\left(A^{-1}\right)$$ | + | * Inverse et transposée :\\ $${}^{t}A\in\mathcal{GL}_{n}(\R)\qquad\text{et}\qquad\left({}^{t}A\right)^{-1}={}^{t}\left(A^{-1}\right)$$ |
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Ligne 108: | Ligne 108: | ||
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<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
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<box 100% green round | **Définition : Matrices semblables**> | <box 100% green round | **Définition : Matrices semblables**> | ||
- | * On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{n}(\K)$ sont **semblables** si et seulement s'il existe une matrice inversible $P\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ telle que: $B=P^{-1}\, | + | * On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ sont **semblables** si et seulement s'il existe une matrice inversible $P\in\mathcal{GL}_{n}(\R)$ telle que: $B=P^{-1}\, |
- | * On dit qu'une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\K)$ est **diagonalisable** si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D\in\mathcal{M}_{n}(\K)$. | + | * On dit qu'une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$ est **diagonalisable** si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale $D\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. |
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<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Deux matrices semblables ont la même trace. Autrement dit :\\ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\K),\;\forall P\in\mathcal{GL}_{n}(\K), | + | Deux matrices semblables ont la même trace. Autrement dit :\\ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\R),\;\forall P\in\mathcal{GL}_{n}(\R), |
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math/2/mnk.1589263494.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/12 08:04 de Alain Guichet