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math:2:matrice_application_lineaire

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math:2:matrice_application_lineaire [2020/06/05 10:41]
Alain Guichet
math:2:matrice_application_lineaire [2020/06/05 10:45] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 <box red round 100% | **Théorème : Lien entre les opérations sur les matrices et celles sur les applications linéaires**>​ <box red round 100% | **Théorème : Lien entre les opérations sur les matrices et celles sur les applications linéaires**>​
  
-  * L'​application $u\in\mathcal{L}(E,​F)\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{M}_{p,​n}(\K)$ est un isomorphisme de $\K$-espaces vectoriels qui conserve le rang, c'est à dire que :\\ $$\forall(\lambda,​\mu)\in\K^{2},​\;​\forall(u,​v)\in\mathcal{L}(E,​F)^{2},​\;​\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(\lambda u+\mu v)=\lambda\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)+\mu\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(v)$$$$\forall A\in\mathcal{M}_{p,​n}(\K),​\;​\exists!u\in\mathcal{L}(E,​F)\;/​\;​ A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)$$$$\forall u\in\mathcal{L}(E,​F),​\;​\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}\left(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)\right)$$$$\dim(\mathcal{L}(E,​F))=\dim(\mathcal{M}_{p,​n}(\K))=n\times p=\dim(E)\times\dim(F)$$ +  * L'​application $u\in\mathcal{L}(E,​F)\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{M}_{p,​n}(\K)$ est un isomorphisme de $\K$-espaces vectoriels qui conserve le rang, c'est à dire que : $$\ds\forall(\lambda,​\mu)\in\K^{2},​\;​\forall(u,​v)\in\mathcal{L}(E,​F)^{2},​\;​\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(\lambda u+\mu v)=\lambda\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)+\mu\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(v)$$ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{p,​n}(\K),​\;​\exists!u\in\mathcal{L}(E,​F)\;/​\;​ A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)$$ $$\ds\forall u\in\mathcal{L}(E,​F),​\;​\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}\left(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)\right)$$ $$\dim(\mathcal{L}(E,​F))=\dim(\mathcal{M}_{p,​n}(\K))=n\times p=\dim(E)\times\dim(F)$$ 
-  * Si $u\in\mathcal{L}(E,​F)$ et $v\in\mathcal{L}(F,​G)$ ($G$ de dimension finie et admettant une base $\mathcal{B}_{G}$) alors :\\ $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},​\mathcal{B}_{E}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},​\mathcal{B}_{F}}(v)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)$$+  * Si $u\in\mathcal{L}(E,​F)$ et $v\in\mathcal{L}(F,​G)$ ($G$ de dimension finie et admettant une base $\mathcal{B}_{G}$) alors : $$\ds\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},​\mathcal{B}_{E}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},​\mathcal{B}_{F}}(v)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},​\mathcal{B}_{E}}(u)$$
   * En conséquence :   * En conséquence :
-    * Si $u\in\mathcal{L}(E)$ alors :\\ $$\forall k\in\N,​\;​\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u^{k})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{k}$$+    * Si $u\in\mathcal{L}(E)$ alors : $$\ds\forall k\in\N,​\;​\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u^{k})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{k}$$
     * Ainsi, $Q\in\K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$.     * Ainsi, $Q\in\K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$.
-    * $u\in\mathcal{GL}(E)$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',​\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ et on a :\\ $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E},​\mathcal{B}_{E}'​}(u^{-1})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',​\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{-1}$$+    * $u\in\mathcal{GL}(E)$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',​\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ et on a : $$\ds\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E},​\mathcal{B}_{E}'​}(u^{-1})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',​\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{-1}$$
  
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math/2/matrice_application_lineaire.txt · Dernière modification: 2020/06/05 10:45 par Alain Guichet