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math:2:matrice_application_lineaire [2020/06/05 10:41] – Alain Guichet | math:2:matrice_application_lineaire [2020/06/05 10:45] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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<box red round 100% | **Théorème : Lien entre les opérations sur les matrices et celles sur les applications linéaires**> | <box red round 100% | **Théorème : Lien entre les opérations sur les matrices et celles sur les applications linéaires**> |
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* L'application $u\in\mathcal{L}(E,F)\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{M}_{p,n}(\K)$ est un isomorphisme de $\K$-espaces vectoriels qui conserve le rang, c'est à dire que :\\ $$\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall(u,v)\in\mathcal{L}(E,F)^{2},\;\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(\lambda u+\mu v)=\lambda\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)+\mu\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(v)$$$$\forall A\in\mathcal{M}_{p,n}(\K),\;\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\; A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$$$$\forall u\in\mathcal{L}(E,F),\;\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}\left(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\right)$$$$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(\mathcal{M}_{p,n}(\K))=n\times p=\dim(E)\times\dim(F)$$ | * L'application $u\in\mathcal{L}(E,F)\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{M}_{p,n}(\K)$ est un isomorphisme de $\K$-espaces vectoriels qui conserve le rang, c'est à dire que : $$\ds\forall(\lambda,\mu)\in\K^{2},\;\forall(u,v)\in\mathcal{L}(E,F)^{2},\;\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(\lambda u+\mu v)=\lambda\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)+\mu\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(v)$$ $$\ds\forall A\in\mathcal{M}_{p,n}(\K),\;\exists!u\in\mathcal{L}(E,F)\;/\; A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$$ $$\ds\forall u\in\mathcal{L}(E,F),\;\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}\left(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)\right)$$ $$\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(\mathcal{M}_{p,n}(\K))=n\times p=\dim(E)\times\dim(F)$$ |
* Si $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et $v\in\mathcal{L}(F,G)$ ($G$ de dimension finie et admettant une base $\mathcal{B}_{G}$) alors :\\ $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},\mathcal{B}_{E}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},\mathcal{B}_{F}}(v)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$$ | * Si $u\in\mathcal{L}(E,F)$ et $v\in\mathcal{L}(F,G)$ ($G$ de dimension finie et admettant une base $\mathcal{B}_{G}$) alors : $$\ds\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},\mathcal{B}_{E}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{G},\mathcal{B}_{F}}(v)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{F},\mathcal{B}_{E}}(u)$$ |
* En conséquence : | * En conséquence : |
* Si $u\in\mathcal{L}(E)$ alors :\\ $$\forall k\in\N,\;\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u^{k})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{k}$$ | * Si $u\in\mathcal{L}(E)$ alors : $$\ds\forall k\in\N,\;\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u^{k})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{k}$$ |
* Ainsi, $Q\in\K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$. | * Ainsi, $Q\in\K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si et seulement si $Q$ est un polynôme annulateur de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}}(u)$. |
* $u\in\mathcal{GL}(E)$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ et on a :\\ $$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}(u^{-1})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{-1}$$ | * $u\in\mathcal{GL}(E)$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',\mathcal{B}_{E}}(u)\in\mathcal{GL}_{n}(\K)$ et on a : $$\ds\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E},\mathcal{B}_{E}'}(u^{-1})=\left[\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_{E}',\mathcal{B}_{E}}(u)\right]^{-1}$$ |
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