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math:2:lois_usuelles_densite

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math:2:lois_usuelles_densite [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1math:2:lois_usuelles_densite [2020/06/14 21:44] (Version actuelle) – [Loi normale] Alain Guichet
Ligne 104: Ligne 104:
  
   * Si $X$ mesure la durée de vie d'une machine alors l'absence de mémoire (l'absence de vieillissement ici) signifie que sa probabilité de fonctionner encore $x$ unités de temps sachant qu'elle a déjà fonctionné $y$ unités de temps est la même que sa probabilité de fonctionner $x$ unités de temps dès après sa fabrication.   * Si $X$ mesure la durée de vie d'une machine alors l'absence de mémoire (l'absence de vieillissement ici) signifie que sa probabilité de fonctionner encore $x$ unités de temps sachant qu'elle a déjà fonctionné $y$ unités de temps est la même que sa probabilité de fonctionner $x$ unités de temps dès après sa fabrication.
-  * Remarquons aussi que la propriété d'absence de mémoire est équivalente aux deux propositions suivantes :\\ $$\ds\forall(x,y)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\;\mathbb{P}(X>x+y)=\mathbb{P}(X>x)\mathbb{P}(X>y)$$$$\ds\forall(x,y)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\; F_{X}(x+y)=F_{X}(x)+F_{X}(y)-F_{X}(x)F_{X}(y)$$+  * Remarquons aussi que la propriété d'absence de mémoire est équivalente aux deux propositions suivantes : $$\ds\forall(x,y)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\;\mathbb{P}(X>x+y)=\mathbb{P}(X>x)\mathbb{P}(X>y)$$ $$\ds\forall(x,y)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\; F_{X}(x+y)=F_{X}(x)+F_{X}(y)-F_{X}(x)F_{X}(y)$$
  
  
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 __**Remarques**__ __**Remarques**__
  
-  * On admet que :\\ $$\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\mathrm{d} x}=1$$ +  * On admet que : $$\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\mathrm{d} x}=1$$ 
-  * On en déduit que :\\ $$\ds\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{d} t}=\sqrt{\pi}$$+  * On en déduit que : $$\ds\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{d} t}=\sqrt{\pi}$$
  
  
Ligne 186: Ligne 186:
  
   * On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la **loi normale centrée réduite** (ou encore loi de Gauss) si et seulement si l'une de ses densités est la fonction $\ds x\mapsto\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ (souvent notée $\varphi$) et on note : $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$.   * On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la **loi normale centrée réduite** (ou encore loi de Gauss) si et seulement si l'une de ses densités est la fonction $\ds x\mapsto\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ (souvent notée $\varphi$) et on note : $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$.
-  * La fonction de répartition $F_{X}$ de $X$ est souvent notée $\Phi$ :\\ $$\ds\forall x\in\R,\;\Phi(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d} t}$$+  * La fonction de répartition $F_{X}$ de $X$ est souvent notée $\Phi$ : $$\ds\forall x\in\R,\;\Phi(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}{\mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}\mathrm{d} t}$$
  
 </box> </box>
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 <box 100% red round | **Théorème : Propriété fondamentale de la fonction de répartition Φ**> <box 100% red round | **Théorème : Propriété fondamentale de la fonction de répartition Φ**>
  
-Soit $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. Alors :\\ $$\ds\forall x\in\R,\;\Phi(-x)=1-\Phi(x)$$+Soit $X\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. Alors : $$\ds\forall x\in\R,\;\Phi(-x)=1-\Phi(x)$$
  
 </box> </box>
Ligne 236: Ligne 236:
 m=10 m=10
 s=[1:n] s=[1:n]
-x=[-5:0.001:25]'+x=[-5:0.001:25]' 
 y=zeros(x*s) ; z=zeros(y) y=zeros(x*s) ; z=zeros(y)
 for k=[1:n] for k=[1:n]
math/2/lois_usuelles_densite.txt · Dernière modification : 2020/06/14 21:44 de Alain Guichet