Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédente |
math:2:lois_discretes_usuelles [2020/05/14 00:21] – Alain Guichet | math:2:lois_discretes_usuelles [2020/05/14 00:23] (Version actuelle) – Alain Guichet |
---|
<box 100% green round | **Définition : Lois discrètes finies usuelles**> | <box 100% green round | **Définition : Lois discrètes finies usuelles**> |
| |
* **Loi uniforme** : Soit $(a,b)\in\Z^{2}$ tel que $a\leqslant b$. $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket a,b\rrbracket$$ $$\ds\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$$ | * **Loi uniforme** : Soit $(a,b)\in\Z^{2}$ tel que $a\leqslant b$. $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket a,b\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$$ |
* **Loi de Bernoulli** : Soit $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket0,1\rrbracket$$ $$\ds\mathbb{P}(X=0)=1-p\quad\mathbb{P}(X=1)=p$$ | * **Loi de Bernoulli** : Soit $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket0,1\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\mathbb{P}(X=0)=1-p\quad\mathbb{P}(X=1)=p$$ |
* **Loi binomiale** : Soit $n\in\N^{*}$ et $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket0,n\rrbracket$$ $$\ds\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$$ | * **Loi binomiale** : Soit $n\in\N^{*}$ et $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket0,n\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\ds\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$$ |
* [HP] **Loi hypergéométrique** : Soit $(n,N)\in\N^{*2}$ tel que $n\leqslant N$ et soit $p\in\left]0,1\right[$ tel que $Np\in\N$. $X\hookrightarrow\mathcal{H}(N,n,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket\max\{0,n-N(1-p)\},\min\{n,Np\}\rrbracket$$ $$\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{\ds\binom{Np}{k}\binom{N-Np}{n-k}}{\ds\binom{N}{n}}$$ | * [HP] **Loi hypergéométrique** : Soit $(n,N)\in\N^{*2}$ tel que $n\leqslant N$ et soit $p\in\left]0,1\right[$ tel que $Np\in\N$. $X\hookrightarrow\mathcal{H}(N,n,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket\max\{0,n-N(1-p)\},\min\{n,Np\}\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{\ds\binom{Np}{k}\binom{N-Np}{n-k}}{\ds\binom{N}{n}}$$ |
| |
</box> | </box> |
<box 100% red round | **Théorème : Espérance et variance**> | <box 100% red round | **Théorème : Espérance et variance**> |
| |
* Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)$ alors :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2}$$$$\ds\mathbb{V}(X)=\frac{n^{2}-1}{12}$$ | * Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)$ alors :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2}\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=\frac{n^{2}-1}{12}$$ |
* Si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)$ alors :\\ $$\mathbb{E}(X)=p\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=p(1-p)$$ | * Si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)$ alors :\\ $$\mathbb{E}(X)=p\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=p(1-p)$$ |
* Si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ alors :\\ $$\mathbb{E}(X)=np\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=np(1-p)$$ | * Si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ alors :\\ $$\mathbb{E}(X)=np\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=np(1-p)$$ |
* Si $X\hookrightarrow\mathcal{H}(N,n,p)$ alors :\\ $$\mathbb{E}(X)=np\qquad\text{et}\qquad\ds\mathbb{V}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$$ | * Si $X\hookrightarrow\mathcal{H}(N,n,p)$ alors :\\ $$\ds\mathbb{E}(X)=np\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$$ |
| |
</box> | </box> |