Table des matières
Limites, continuité en un point
Dans tout ce chapitre, $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère.
Limite et continuité en un point
Définitions : Limite en un point
Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$, ou bien $x_{0}\notin I$ mais alors $x_{0}$ est une extrémité de $I$.
- On dit que $f$ admet le réel $\ell$ pour limite en $x_{0}$ si et seulement si :
$$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$ Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\ell$.- Dans le cas où $x_{0}\in I$, on dit que la fonction $f$ est continue en $x_{0}$.
- Dans le cas où $x_{0}\notin I$, on dit que la fonction $f$ se prolonge par continuité en $x_{0}$ en la fonction :
$$\tilde{f}\colon I\cup\{x_{0}\}\to\R,\; x\mapsto\begin{cases} f(x) & \text{si}\; x\in I\\ \ell & \text{si}\; x=x_{0} \end{cases}$$
- On dit que $f$ admet $+\infty$ (resp. $-\infty$) pour limite en $x_{0}$ si et seulement si :
$$\ds\forall M>0\;(\text{resp.}\;<0),\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\; f(x)\geqslant M\;(\text{resp.}\;\leqslant M)$$Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=+\infty\;(\text{resp.}\;-\infty)$. - On dit que $f$ n'admet pas de limite en $x_{0}$ dans les autres cas.
<html><a name=“unicite_limite_fonction”></a></html>
Théorème : Unicité
Si $f$ admet une limite en $x_{0}$ alors celle-ci est unique. De plus, en cas de continuité en $x_{0}$, cette limite vaut nécessairement $f(x_{0})$.
Remarque : Quelques limites usuelles en 0
On a :
$$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$$ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}}=1$$ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$$
Limite en l'infini
Définition : Limite en l'infini
On suppose que $+\infty$ (resp. $-\infty$) est une extrémité de $I$.
- On dit que $f$ admet le réel $\ell$ pour limite en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si et seulement si :
$$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha\;(\text{resp.}\; x\leqslant\alpha),\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$ Notation : $\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\ell$. - On dit que $f$ admet $+\infty$ pour limite en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si et seulement si :
$$\ds\forall M>0,\;\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha\;(\text{resp}\; x\leqslant\alpha),\; f(x)\geqslant M$$Notation : $\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=+\infty$. - Adapter les définitions qui précèdent dans le cas d'une limite égale à $-\infty$.
- On dit que $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$ (resp. $-\infty$) dans les autres cas.
Théorème : Unicité
La limite en l'infini (si elle existe) est unique.
Remarque : Quelques limites usuelles en l'infini
On a :
$$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}=0$$ $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}=+\infty$$
Opérations sur les limites
Théorème : Limite par opérations usuelles
| Somme | $-\infty$ | $\ell'$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $+\infty$ | indét. | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $\ell$ | $-\infty$ | $\ell+\ell'$ | $+\infty$ |
| $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | indét. |
Pour le produit, ne pas oublier la règle des signes :
| Produit | $\pm\infty$ | $\ell'\ne0$ | $0$ |
|---|---|---|---|
| $\pm\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | indét. |
| $\ell\ne0$ | $\infty$ | $\ell\times\ell'$ | $0$ |
| $0$ | indét. | $0$ | $0$ |
<html><a name=“limite_par_composition”></a></html>
Théorème : Limite par composition
- Soit $f\colon I\to\R$ et $g\colon J\to\R$ telles que $f(I)\subset J$. Soit $(\ell,\ell',\ell'')\in\bar{\R}^{3}$ tel que $\ell$ (resp. $\ell'$) est un élément de $I$ (resp. $J$) ou bien une extrémité de $I$ (resp. $J$). Alors :
$$\ds \left\{ \begin{array}{l} {\ds \lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'}\\ {\ds \lim_{t\to\ell'}{g(t)}=\ell''} \end{array}\right.\;\implies\;\lim_{x\to\ell}{g(f(x))}=\ell''$$ En particulier, si $f$ est continue en $x_{0}$ et si $g$ est continue en $f(x_{0})$ alors $g\circ f$ est continue en $x_{0}$. - Soit $(\ell,\ell')\in\bar{\R}^{2}$ tel que $\ell$ est un élément de $I$ ou bien une extrémité de $I$. Soit $(u_{n})$ une suite réelle. Alors :
$$\ds\left\{ \begin{array}{l} {\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell}\\ {\ds \lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'} \end{array}\right.\;\implies\;\lim_{n\to+\infty}{f(u_{n})}=\ell'$$ En particulier, si $f$ est continue en $x_{0}$ et si la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ converge vers $x_{0}$ alors la suite $(f(u_{n}))_{n\in\N}$ converge vers $f(x_{0})$.
Remarque
Le quotient de deux fonctions est le produit du numérateur par l'inverse du dénominateur …
Théorème : Limite par comparaison
Soit $f,g,h\colon I\to\R$ telles que :
$$\forall x\in I,\; g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$$Soit $(\ell,\ell')\in\R^{2}$.
- Si $g$ et $h$ admettent $\ell$ pour limite en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) alors $f$ admet une limite en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) et cette limite vaut $\ell$.
- Si $g$ admet $+\infty$ pour limite en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) alors $f$ admet une limite en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) et cette limite vaut $+\infty$.
- Si $h$ admet $-\infty$ pour limite en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) alors $f$ admet une limite en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) et cette limite vaut $-\infty$.
- Si $f$ et $h$ admettent $\ell$ et $\ell'$ pour limites respectives en $x_{0}$ (resp. $\pm\infty$) alors $\ell\leqslant\ell'$.
Limite à gauche, limite à droite
Définition
Soit $x_{0}\in\R$ tel que ou bien $x_{0}\in I$ ou bien $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est une extrémité de $I$. On dit que la fonction $f$ admet le réel $\ell$ pour limite à gauche (resp. droite) en $x_{0}$ si et seulement si :
$$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap\left[x_{0}-\alpha,x_{0}\right[\;(\text{resp.}\; x\in I\cap\left]x_{0},x_{0}+\alpha\right]),\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}=\ell$ (resp. $\ds\lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}=\ell$) (adapter cette définition pour une limite infinie).
Remarque
Si $x_{0}\notin I$ et $x_{0}$ est l'extrémité gauche (resp. droite) de $I$ alors limite à gauche (resp. droite) et limite en $x_{0}$ désignent la même notion.
Théorème : Lien avec la continuité
Soit $x_{0}\in I$. Alors, $f$ est continue en $x_{0}$ si et seulement si $f$ admet une limite à gauche en $x_{0}$, une limite à droite en $x_{0}$ et :
$$\ds\lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}=f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}$$
Théorème : Cas des fonctions monotones
On suppose que $f$ est croissante sur $I$ (adapter si $f$ est décroissante).
- Soit $x_{0}\in I$. La fonction $f$ admet une limite à gauche en $x_{0}$ et une limite à droite en $x_{0}$ et de plus :
$$\ds\lim_{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}\leqslant f(x_{0})\leqslant\lim_{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}$$ - On suppose que $I=\left]a,b\right[$ avec $(a,b)\in\bar{\R}^{2}$.
- Si $f$ est majorée sur $\left]a,b\right[$ alors $f$ admet une limite finie en $b$ (c'est un prolongement par continuité en $b$ si $b\in\R$).
- Si $f$ n'est pas majorée sur $\left]a,b\right[$ alors $f$ admet pour limite $+\infty$ en $b$.
- Si $f$ est minorée sur $\left]a,b\right[$ alors $f$ admet une limite finie en $a$ (c'est un prolongement par continuité en $a$ si $a\in\R$).
- Si $f$ n'est pas minorée sur $\left]a,b\right[$ alors $f$ admet pour limite $-\infty$ en $a$.