Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:limite [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1
+++ math:2:limite [2020/05/12 00:36] – Alain Guichet
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 Soit $x_{0}$ un réel tel que, ou bien $x_{0}\in I$, ou bien $x_{0}\notin I$ mais alors $x_{0}$ est une extrémité de $I$.
-  * On dit que $f$ admet le réel $\ell$ pour **limite** en $x_{0}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilonet$$Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\ell$.
+  * On dit que $f$ admet le réel $\ell$ pour **limite** en $x_{0}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$ Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=\ell$.
     * Dans le cas où $x_{0}\in I$, on dit que la fonction $f$ est **continue** en $x_{0}$.
     * Dans le cas où $x_{0}\notin I$, on dit que la fonction $f$ se **prolonge par continuité** en $x_{0}$ en la fonction :\\ $$\tilde{f}\colon I\cup\{x_{0}\}\to\R,\; x\mapsto\begin{cases}
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 \ell & \text{si}\; x=x_{0}
 \end{cases}$$
-  * On dit que $f$ admet $+\infty$ (resp. $-\infty$) pour **limite** en $x_{0}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall M>0\;(\resp\;<0),\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\; f(x)\geqslant M\;(\resp\;\leqslant M)$$Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=+\infty\;(\resp\;-\infty)$.
+  * On dit que $f$ admet $+\infty$ (resp. $-\infty$) pour **limite** en $x_{0}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall M>0\;(\text{resp.}\;<0),\;\exists\alpha>0\;/\;\forall x\in I\cap[x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha],\; f(x)\geqslant M\;(\text{resp.}\;\leqslant M)$$Notation : $\ds\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}=+\infty\;(\text{resp.}\;-\infty)$.
   * On dit que $f$ n'admet **pas de limite** en $x_{0}$ dans les autres cas.
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 __**Remarque : Quelques limites usuelles en 0**__\\
-On a :\\ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$$$$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}}=1$$$$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$$
+On a :\\ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1$$ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}}=1$$ $$\ds\lim_{x\to0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1$$
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 On suppose que $+\infty$ (resp. $-\infty$) est une extrémité de $I$.
-  * On dit que $f$ admet le réel $\ell$ pour **limite** en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha\;(\resp\; x\leqslant\alpha),\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$Notation : $\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\ell$.
+  * On dit que $f$ admet le réel $\ell$ pour **limite** en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si et seulement si :\\ $$\ds\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha\;(\text{resp.}\; x\leqslant\alpha),\;|f(x)-\ell|\leqslant\varepsilon$$ Notation : $\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\ell$.
   * On dit que $f$ admet $+\infty$ pour **limite** en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si et seulement si :\\ $$\ds\forall M>0,\;\exists\alpha\in I\;/\;\forall x\geqslant\alpha\;(\text{resp}\; x\leqslant\alpha),\; f(x)\geqslant M$$Notation : $\ds\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=+\infty$.
   * Adapter les définitions qui précèdent dans le cas d'une limite égale à $-\infty$.
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 __**Remarque : Quelques limites usuelles en l'infini**__\\
-On a :\\ $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}=0$$$$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}=+\infty$$
+On a :\\ $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}=0$$ $$\ds\lim_{x\to+\infty}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}=+\infty$$
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:limite_par_composition|Limite par composition]]**>
-  * Soit $f\colon I\to\R$ et $g\colon J\to\R$ telles que $f(I)\subset J$. Soit $(\ell,\ell',\ell'')\in\bar{\R}^{3}$ tel que $\ell$ (resp. $\ell'$) est un élément de $I$ (resp. $J$) ou bien une extrémité de $I$ (resp. $J$). Alors :\\ $$\ds \left\{ \begin{array}{l}
+  * Soit $f\colon I\to\R$ et $g\colon J\to\R$ telles que $f(I)\subset J$. Soit $(\ell,\ell',\ell'')\in\bar{\R}^{3}$ tel que $\ell$ (resp. $\ell'$) est un élément de $I$ (resp. $J$) ou bien une extrémité de $I$ (resp. $J$). Alors :\\ $$\ds \left\{ \begin{array}{l} {\ds \lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'}\\ {\ds \lim_{t\to\ell'}{g(t)}=\ell''} \end{array}\right.\;\implies\;\lim_{x\to\ell}{g(f(x))}=\ell''$$ En particulier, si $f$ est continue en $x_{0}$ et si $g$ est continue en $f(x_{0})$ alors $g\circ f$ est continue en $x_{0}$.
-{\ds \lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'}\\
+  * Soit $(\ell,\ell')\in\bar{\R}^{2}$ tel que $\ell$ est un élément de $I$ ou bien une extrémité de $I$. Soit $(u_{n})$ une suite réelle. Alors :\\ $$\ds\left\{ \begin{array}{l} {\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell}\\ {\ds \lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'} \end{array}\right.\;\implies\;\lim_{n\to+\infty}{f(u_{n})}=\ell'$$ En particulier, si $f$ est continue en $x_{0}$ et si la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ converge vers $x_{0}$ alors la suite $(f(u_{n}))_{n\in\N}$ converge vers $f(x_{0})$.
-{\ds \lim_{t\to\ell'}{g(t)}=\ell''}
-\end{array}\right.\;\implies\;\lim_{x\to\ell}{g(f(x))}=\ell''$$En particulier, si $f$ est continue en $x_{0}$ et si $g$ est continue en $f(x_{0})$ alors $g\circ f$ est continue en $x_{0}$.
-  * Soit $(\ell,\ell')\in\bar{\R}^{2}$ tel que $\ell$ est un élément de $I$ ou bien une extrémité de $I$. Soit $(u_{n})$ une suite réelle. Alors :\\ $$\ds\left\{ \begin{array}{l}
-{\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell}\\
-{\ds \lim_{x\to\ell}{f(x)}=\ell'}
-\end{array}\right.\;\implies\;\lim_{n\to+\infty}{f(u_{n})}=\ell'$$En particulier, si $f$ est continue en $x_{0}$ et si la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ converge vers $x_{0}$ alors la suite $(f(u_{n}))_{n\in\N}$ converge vers $f(x_{0})$.
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