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| math:2:kx [2020/05/12 08:17] – Alain Guichet | math:2:kx [2020/05/12 08:20] (Version actuelle) – Alain Guichet |
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| * **Opérations d'espace vectoriel**. On définit la somme de deux polynômes et le produit d'un polynôme par un scalaire de la manière suivante :\\ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}+\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{\max\{n,m\}}{(a_{k}+b_{k})X^{k}}$$ $$\ds\lambda\cdot\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{(\lambda a_{k})X^{k}}$$ | * **Opérations d'espace vectoriel**. On définit la somme de deux polynômes et le produit d'un polynôme par un scalaire de la manière suivante :\\ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}+\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{\max\{n,m\}}{(a_{k}+b_{k})X^{k}}$$ $$\ds\lambda\cdot\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{(\lambda a_{k})X^{k}}$$ |
| * **Opération supplémentaire d'algèbre**. On définit le produit de deux polynômes par :\\ $$\ds\left[\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}\right]\times\left[\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}\right]=\sum_{k=0}^{n+m}{c_{k}X^{k}}$$ avec :\\ $$\ds\forall k\in[\![0,n+m]\!],\ c_{k}=\sum_{i+j=k}{a_{i}b_{j}}=\sum_{i=0}^{k}{a_{i}b_{k-i}}$$ On appelle **puissances successives** d'un polynôme $P$ les polynômes :\\ $$P^{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\ P^{k+1}=P^{k}\times P=P\times P^{k}$$ | * **Opération supplémentaire d'algèbre**. On définit le produit de deux polynômes par :\\ $$\ds\left[\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}\right]\times\left[\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}\right]=\sum_{k=0}^{n+m}{c_{k}X^{k}}$$ avec :\\ $$\ds\forall k\in[\![0,n+m]\!],\ c_{k}=\sum_{i+j=k}{a_{i}b_{j}}=\sum_{i=0}^{k}{a_{i}b_{k-i}}$$ On appelle **puissances successives** d'un polynôme $P$ les polynômes :\\ $$P^{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\ P^{k+1}=P^{k}\times P=P\times P^{k}$$ |
| * On appelle **polynôme dérivé** de $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ le polynôme noté $P'$ défini par :\\ $$P'=\left\{ \begin{array}{lcl} \Theta & \text{si} & n=0\\ {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ka_{k}X^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)a_{k+1}X^{k}}} & \text{si} & n\geqslant1 \end{array}\right.$$ On définit par récurrence les polynômes dérivés successifs de $P$ | * On appelle **polynôme dérivé** de $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ le polynôme noté $P'$ défini par :\\ $$P'=\left\{ \begin{array}{lcl} \Theta & \text{si} & n=0\\ {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ka_{k}X^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)a_{k+1}X^{k}}} & \text{si} & n\geqslant1 \end{array}\right.$$ On définit par récurrence les polynômes dérivés successifs de $P$ par :\\ $$P^{(0)}=P\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\; P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)'$$ |
| par :\\ $$P^{(0)}=P\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\; P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)'$$ | |
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| __**Remarque (à retenir)**__\\ | __**Remarque (à retenir)**__\\ |
| On a : $\forall a\in\C,\;\forall(k,n)\in\N^{2},\;\left((X-a)^{n}\right)^{(k)}=\begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!}(X-a)^{n-k} & \text{si}\; k\in\llbracket0,n\rrbracket\\ \Theta & \text{sinon} \end{cases}$. | On a : $\forall a\in\C,\;\forall(k,n)\in\N^{2},\;\left((X-a)^{n}\right)^{(k)}=\begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!}(X-a)^{n-k} & \text{si}\; k\in[\![0,n]\!]\\ \Theta & \text{sinon} \end{cases}$. |
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