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math:2:kx

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math:2:kx [2020/05/10 22:59] Alain Guichetmath:2:kx [2020/05/12 08:20] (Version actuelle) Alain Guichet
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   * **Opérations d'espace vectoriel**. On définit la somme de deux polynômes et le produit d'un polynôme par un scalaire de la manière suivante :\\ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}+\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{\max\{n,m\}}{(a_{k}+b_{k})X^{k}}$$ $$\ds\lambda\cdot\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{(\lambda a_{k})X^{k}}$$   * **Opérations d'espace vectoriel**. On définit la somme de deux polynômes et le produit d'un polynôme par un scalaire de la manière suivante :\\ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}+\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{\max\{n,m\}}{(a_{k}+b_{k})X^{k}}$$ $$\ds\lambda\cdot\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{(\lambda a_{k})X^{k}}$$
-  * **Opération supplémentaire d'algèbre**. On définit le produit de deux polynômes par :\\ $$\ds\left[\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}\right]\times\left[\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}\right]=\sum_{k=0}^{n+m}{c_{k}X^{k}}$$avec :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket0,n+m\rrbracket,\ c_{k}=\sum_{i+j=k}{a_{i}b_{j}}=\sum_{i=0}^{k}{a_{i}b_{k-i}}$$On appelle **puissances successives** d'un polynôme $P$ les polynômes :\\ $$P^{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\ P^{k+1}=P^{k}\times P=P\times P^{k}$$ +  * **Opération supplémentaire d'algèbre**. On définit le produit de deux polynômes par :\\ $$\ds\left[\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}\right]\times\left[\sum_{k=0}^{m}{b_{k}X^{k}}\right]=\sum_{k=0}^{n+m}{c_{k}X^{k}}$$ avec :\\ $$\ds\forall k\in[\![0,n+m]\!],\ c_{k}=\sum_{i+j=k}{a_{i}b_{j}}=\sum_{i=0}^{k}{a_{i}b_{k-i}}$$ On appelle **puissances successives** d'un polynôme $P$ les polynômes :\\ $$P^{0}=1\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\ P^{k+1}=P^{k}\times P=P\times P^{k}$$ 
-  * On appelle **polynôme dérivé** de $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ le polynôme noté $P'$ défini par :\\ $$P'=\left\{ \begin{array}{lcl} +  * On appelle **polynôme dérivé** de $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ le polynôme noté $P'$ défini par :\\ $$P'=\left\{ \begin{array}{lcl} \Theta & \text{si} & n=0\\ {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ka_{k}X^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)a_{k+1}X^{k}}} & \text{si} & n\geqslant1 \end{array}\right.$$ On définit par récurrence les polynômes dérivés successifs de $P$ par :\\ $$P^{(0)}=P\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\; P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)'$$
-\Theta & \text{si} & n=0\\ +
-{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ka_{k}X^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)a_{k+1}X^{k}}} & \text{si} & n\geqslant1 +
-\end{array}\right.$$ On définit par récurrence les polynômes dérivés successifs de $P$ +
-  par :\\ $$P^{(0)}=P\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\; P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)'$$+
    
 </box> </box>
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:propriete_derivation_des_polynomes|Propriétés de la dérivation]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:propriete_derivation_des_polynomes|Propriétés de la dérivation]]**>
  
-  * Soit $P\in\K[X]$. Si $P$ est non constant alors $\deg(P')=\deg(P)-1$ sinon $P'=\Theta$ donc est de degré $-\infty$.\\ En conséquence :\\ $$\forall k\in\N,\;\left\{ \begin{array}{lll} +  * Soit $P\in\K[X]$. Si $P$ est non constant alors $\deg(P')=\deg(P)-1$ sinon $P'=\Theta$ donc est de degré $-\infty$.\\ En conséquence :\\ $$\forall k\in\N,\;\left\{ \begin{array}{lll} \deg(P)\geqslant k & \implies & \deg(P^{(k)})=\deg(P)-k\\ \deg(P)<k & \implies & P^{(k)}=\Theta \end{array}\right.$$
-\deg(P)\geqslant k & \implies & \deg(P^{(k)})=\deg(P)-k\\ +
-\deg(P)<k & \implies & P^{(k)}=\Theta +
-\end{array}\right.$$+
   * L'application $P\mapsto P'$ est un endomorphisme de $\K[X]$ et même de $\K_n[X]$ pour tout entier $n\geqslant0$.   * L'application $P\mapsto P'$ est un endomorphisme de $\K[X]$ et même de $\K_n[X]$ pour tout entier $n\geqslant0$.
   * Dérivation du produit : $(P\times Q)'=P'\times Q+P\times Q'$   * Dérivation du produit : $(P\times Q)'=P'\times Q+P\times Q'$
   * **Formule de Leibniz** (généralisation de la formule précédente) :\\ $$\ds\forall n\in\N,\;\forall(P,Q)\in\K[X]^{2},\;(P\times Q)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}P^{(n-k)}Q^{(k)}}$$   * **Formule de Leibniz** (généralisation de la formule précédente) :\\ $$\ds\forall n\in\N,\;\forall(P,Q)\in\K[X]^{2},\;(P\times Q)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}P^{(n-k)}Q^{(k)}}$$
-  * **Formule de Taylor** : Soit $P$ un polynôme de degré $n\in\N$ et $\alpha$ un scalaire. Alors :\\ $$\ds P=\sum_{k=0}^{n}{\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k}}=P(\alpha)+P'(\alpha)(X-\alpha)+\frac{P''(\alpha)}{2}(X-\alpha)^{2}+\dots+\frac{P^{(n)}(\alpha)}{n!}(X-\alpha)^{n}$$En particulier, par identification, si $\ds P=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}$ alors :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket,\ P^{(k)}(0)=k!a_{k}$$ De plus : $(1,X-\alpha,(X-\alpha)^{2},\dots,(X-\alpha)^{n})$ est une base de $\K_n[X]$ pour tout $\alpha\in\K$.+  * **Formule de Taylor** : Soit $P$ un polynôme de degré $n\in\N$ et $\alpha$ un scalaire. Alors :\\ $$\ds P=\sum_{k=0}^{n}{\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k}}=P(\alpha)+P'(\alpha)(X-\alpha)+\frac{P''(\alpha)}{2}(X-\alpha)^{2}+\dots+\frac{P^{(n)}(\alpha)}{n!}(X-\alpha)^{n}$$En particulier, par identification, si $\ds P=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}X^{k}}$ alors :\\ $$\ds\forall k\in[\![0,n]\!],\ P^{(k)}(0)=k!a_{k}$$ De plus : $(1,X-\alpha,(X-\alpha)^{2},\dots,(X-\alpha)^{n})$ est une base de $\K_n[X]$ pour tout $\alpha\in\K$.
  
 </box> </box>
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:division_euclidienne|Division euclidienne]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:division_euclidienne|Division euclidienne]]**>
  
-Soit $(A,B)\in\K[X]^{2}$ tel que $B\neq\Theta$. Alors, il existe un unique couple $(Q,R)\in\K[X]^{2}$ tel que :\\ $$A=BQ+R\qquad\text{et}\qquad\deg(R)<\deg(B)$$Les polynômes $Q$ et $R$ ainsi obtenus se nomment respectivement quotient et reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.+Soit $(A,B)\in\K[X]^{2}$ tel que $B\neq\Theta$. Alors, il existe un unique couple $(Q,R)\in\K[X]^{2}$ tel que :\\ $$A=BQ+R\qquad\text{et}\qquad\deg(R)<\deg(B)$$ Les polynômes $Q$ et $R$ ainsi obtenus se nomment respectivement quotient et reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.
  
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Ligne 117: Ligne 110:
  
 __**Remarque (à retenir)**__\\ __**Remarque (à retenir)**__\\
-On a : $\forall a\in\C,\;\forall(k,n)\in\N^{2},\;\left((X-a)^{n}\right)^{(k)}=\begin{cases} +On a : $\forall a\in\C,\;\forall(k,n)\in\N^{2},\;\left((X-a)^{n}\right)^{(k)}=\begin{cases} \frac{n!}{(n-k)!}(X-a)^{n-k} & \text{si}\; k\in[\![0,n]\!]\\ \Theta & \text{sinon} \end{cases}$.
-\frac{n!}{(n-k)!}(X-a)^{n-k} & \text{si}\; k\in\llbracket0,n\rrbracket\\ +
-\Theta & \text{sinom} +
-\end{cases}$.+
  
  
Ligne 134: Ligne 124:
 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:racine_polynome|Racine]]**> <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:racine_polynome|Racine]]**>
  
-Soit $P\in\K[X]$ et $\alpha\in\K$. On a :\\ $$(X-\alpha)\mid P\quad\iff\quad P(\alpha)=0$$Dans ce cas, on dit que $\alpha$ est une **racine** de $P$.+Soit $P\in\K[X]$ et $\alpha\in\K$. On a :\\ $$(X-\alpha)\mid P\quad\iff\quad P(\alpha)=0$$ Dans ce cas, on dit que $\alpha$ est une **racine** de $P$.
  
 </box> </box>
Ligne 176: Ligne 166:
  
   * Un polynôme non nul est dit **irréductible** dans $\K[X]$ si et seulement s'il est constant ou bien ses seuls diviseurs non constants (c'est à dire de degré supérieur à 1) sont ses multiples (le polynôme lui-même multiplié par un scalaire non nul). En particulier, tout polynôme de $\K[X]$ de degré 1 est irréductible dans $\K[X]$.\\ Attention, être irréductible dans $\C[X]$ et $\R[X]$ n'est pas nécessairement identique pour un polynôme à coefficients réels (cf $X^{2}+1$ et $X^{2}-1$). Toutefois, un polynôme à coefficients réels irréductible dans $\C[X]$ l'est aussi dans $\C[X]$.   * Un polynôme non nul est dit **irréductible** dans $\K[X]$ si et seulement s'il est constant ou bien ses seuls diviseurs non constants (c'est à dire de degré supérieur à 1) sont ses multiples (le polynôme lui-même multiplié par un scalaire non nul). En particulier, tout polynôme de $\K[X]$ de degré 1 est irréductible dans $\K[X]$.\\ Attention, être irréductible dans $\C[X]$ et $\R[X]$ n'est pas nécessairement identique pour un polynôme à coefficients réels (cf $X^{2}+1$ et $X^{2}-1$). Toutefois, un polynôme à coefficients réels irréductible dans $\C[X]$ l'est aussi dans $\C[X]$.
-  * Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont les polynômes de degré 0 et 1 et tout polynôme $P$ de $\C[X]$ de degré $n\in\N^{*}$ admettant exactement $n$ racines (en tenant compte de la multiplicité de chaque racine) se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\prod_{k=1}^{n}{(X-x_{k})}=\lambda\prod_{k=1}^{p}{(X-\alpha_{k})^{n_{k}}}$$où l'on a :+  * Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont les polynômes de degré 0 et 1 et tout polynôme $P$ de $\C[X]$ de degré $n\in\N^{*}$ admettant exactement $n$ racines (en tenant compte de la multiplicité de chaque racine) se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\prod_{k=1}^{n}{(X-x_{k})}=\lambda\prod_{k=1}^{p}{(X-\alpha_{k})^{n_{k}}}$$ où l'on a :
     * $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$,     * $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$,
     * $x_{1},\dots,x_{n}$ sont les racines complexes (non nécessairement deux à deux distinctes) de $P$,     * $x_{1},\dots,x_{n}$ sont les racines complexes (non nécessairement deux à deux distinctes) de $P$,
     * $\alpha_{1},\dots,\alpha_{p}$ sont les racines complexes deux à deux distinctes de $P$ et les entiers naturels $n_{1},\dots,n_{p}$ étant leur multiplicité respective (on a alors $n_{1}+\dots+n_{p}=n=\deg(P)$).     * $\alpha_{1},\dots,\alpha_{p}$ sont les racines complexes deux à deux distinctes de $P$ et les entiers naturels $n_{1},\dots,n_{p}$ étant leur multiplicité respective (on a alors $n_{1}+\dots+n_{p}=n=\deg(P)$).
-  * Les polynômes irréductibles dans $\R[X]$ sont ceux de degré 0 ou 1 ainsi que ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif et tout polynôme $P$ de $\R[X]$ se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\left(\prod_{k=1}^{p}(X-\alpha_{k})^{n_{k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{q}(X^{2}+a_{k}X+b_{k})^{m_{k}}\right)$$où l'on a :\\+  * Les polynômes irréductibles dans $\R[X]$ sont ceux de degré 0 ou 1 ainsi que ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif et tout polynôme $P$ de $\R[X]$ se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\left(\prod_{k=1}^{p}(X-\alpha_{k})^{n_{k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{q}(X^{2}+a_{k}X+b_{k})^{m_{k}}\right)$$ où l'on a :\\
     * $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$,     * $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$,
     * $\alpha_{1},\dots,\alpha_{p}$ sont les racines réelles deux à deux distinctes de $P$, les entiers naturels $n_{1},\dots,n_{p}$ étant leur ordre de multiplicité respectif,     * $\alpha_{1},\dots,\alpha_{p}$ sont les racines réelles deux à deux distinctes de $P$, les entiers naturels $n_{1},\dots,n_{p}$ étant leur ordre de multiplicité respectif,
math/2/kx.txt · Dernière modification : 2020/05/12 08:20 de Alain Guichet