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math:2:integrale_segment

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math:2:integrale_segment [2020/05/10 21:19]
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math:2:integrale_segment [2020/06/08 18:51] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 <box 100% red round | **Théorème : Propriétés de l'​intégrale d'une fonction continue**>​ <box 100% red round | **Théorème : Propriétés de l'​intégrale d'une fonction continue**>​
  
-  * //​Linéarité//​ : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, si $(\lambda,​\mu)\in\R^{2}$ alors :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{[\lambda f(t)+\mu g(t)]\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ +  * //​Linéarité//​ : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, si $(\lambda,​\mu)\in\R^{2}$ alors : $$\ds\int_{a}^{b}{[\lambda f(t)+\mu g(t)]\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ 
-  * //Relation de Chasles// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors pour tout $c\in[a,b]$ :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$+  * //Relation de Chasles// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors pour tout $c\in[a,b]$ : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
   * //​Positivité//​ : Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$ alors :   * //​Positivité//​ : Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$ alors :
     * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\geqslant0$,​     * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\geqslant0$,​
     * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=0$ si et seulement si $f$ est nulle sur $[a,b]$.     * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=0$ si et seulement si $f$ est nulle sur $[a,b]$.
-  * //​Croissance//​ : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a<b$ et si $f(t)\leqslant g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ alors :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ +  * //​Croissance//​ : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a<b$ et si $f(t)\leqslant g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ alors : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ 
-  * //​Inégalité triangulaire//​ : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors :\\ $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{\left|f(t)\right|\mathrm{d} t}$$ +  * //​Inégalité triangulaire//​ : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors : $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{\left|f(t)\right|\mathrm{d} t}$$ 
-  * //Formule de la moyenne// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors :\\ $$\ds\left(\min_{[a,​b]}f\right)(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\left(\max_{[a,​b]}f\right)(b-a)$$Par théorème des valeurs intermédiaires :\\ $$\ds\exists c\in\left]a,​b\right[\;/​\;​ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$+  * //Formule de la moyenne// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors : $$\ds\left(\min_{[a,​b]}f\right)(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\left(\max_{[a,​b]}f\right)(b-a)$$ Par théorème des valeurs intermédiaires ​(avec $a<​b$) ​: $$\ds\exists c\in\left]a,​b\right[\;/​\;​ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
    
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math/2/integrale_segment.txt · Dernière modification: 2020/06/08 18:51 par Alain Guichet