Intégrale sur un segment
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction dérivable sur $I$ telle que : $F'=f$.
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$, toute primitive est alors de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et deux primitives distinctes diffèrent d'une constante.
Définition
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Soit $(a,b)\in I^{2}$ tel que $a\leqslant b$. On appelle intégrale de $f$ sur le segment $[a,b]$ le réel :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=F(b)-F(a)$$où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ (le réel est indépendant du choix de la primitive $F$).
Théorème : Lien avec les primitives
Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Soit $a\in I$. La fonction $\ds x\mapsto\int_{a}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.
Exemples
- Déterminer une primitive sur $\R$ de $x\mapsto\cos(x)\cos(2x)+\sin(x)\sin(3x)$.
- Soit $f$ continue sur $\R$. On pose :
$$\ds g(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$$- Montrer que cela définit une fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.
- Montrer que $g$ se prolonge par continuité en 0 et préciser alors $g(0)$.
- Montrer que si $f$ est dérivable en 0 alors $g$ est dérivable en 0 et que : $g'(0)=\dfrac{f'(0)}{2}$
- Montrer que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ alors $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$.
Théorème : Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue
- Linéarité : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, si $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ alors : $$\ds\int_{a}^{b}{[\lambda f(t)+\mu g(t)]\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$
- Relation de Chasles : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors pour tout $c\in[a,b]$ : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
- Positivité : Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$ alors :
- $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\geqslant0$,
- $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=0$ si et seulement si $f$ est nulle sur $[a,b]$.
- Croissance : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a<b$ et si $f(t)\leqslant g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ alors : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$
- Inégalité triangulaire : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors : $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{\left|f(t)\right|\mathrm{d} t}$$
- Formule de la moyenne : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors : $$\ds\left(\min_{[a,b]}f\right)(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\left(\max_{[a,b]}f\right)(b-a)$$ Par théorème des valeurs intermédiaires (avec $a<b$) : $$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$
Définition
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Le réel $\ds\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est appelé valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$.
Définition : Intégrale d'une fonction continue par morceaux
- On dit qu'une fonction $f$ définie sur $I$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ si et seulement s'il existe une suite strictement croissante de réels $a=a_{0}<a_{1}<\dots<a_{n-1}<a_{n}=b$ appelée subdivision adaptée à $f$ tels que, pour tout entier $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, la restriction de $f$ à tout intervalle $\left]a_{i-1},a_{i}\right[$ est continue sur $\left]a_{i-1},a_{i}\right[$ et se prolonge en une fonction $\tilde{f}_{i}$ continue sur $\left[a_{i-1},a_{i}\right]$.
- On appelle alors intégrale de $f$ sur $[a,b]$ le réel :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\sum_{i=1}^{n}{\int_{a_{i-1}}^{a_{i}}{\tilde{f}_{i}(t)\mathrm{d} t}}$$
Théorème : Sommes de Riemann ou méthode des rectangles
Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Alors :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\lim_{n\to+\infty}{\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}}=\lim_{n\to+\infty}{\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}{f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}}$$
Exemples
- Soit $f$ continue sur $[0,1]$ telle que :
$$\ds\int_{0}^{1}{f(t)\mathrm{d} t}=\frac{1}{2}$$Montrer qu'il existe un réel $a\in\left]0,1\right[$ tel que :
$$f(a)=a$$ - Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ avec $a<b$. On suppose, de plus, que $f$ est croissante sur $[a,b]$ et que $g$ est positive sur $[a,b]$.
- Justifier que :
$$\ds\forall t\in[a,b],\; f(a)g(t)\leqslant f(t)g(t)\leqslant f(b)g(t)$$ - En déduire qu'il existe un réel $c\in[a,b]$ tel que :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d} t}=f(c)\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ - En déduire qu'il existe un réel $\alpha\in[a,b]$ tel que :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d} t}=f(a)\int_{a}^{\alpha}{g(t)\mathrm{d} t}+f(b)\int_{\alpha}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$
- Quelles sont les fonctions $f\colon[a,b]\to\R$ continues telles que :
$$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t=(b-a)\underset{[a,b]}{\max}|f|}$$ - Calculer :
$$\ds\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{n+k}{n^{2}+k^{2}}}}$$