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| math:2:integrale_segment [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1 | math:2:integrale_segment [2020/06/08 18:51] – Alain Guichet |
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| <box 100% red round | **Théorème : Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue**> | <box 100% red round | **Théorème : Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue**> |
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| * //Linéarité// : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, si $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ alors :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{[\lambda f(t)+\mu g(t)]\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ | * //Linéarité// : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, si $(\lambda,\mu)\in\R^{2}$ alors : $$\ds\int_{a}^{b}{[\lambda f(t)+\mu g(t)]\mathrm{d} t}=\lambda\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}+\mu\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ |
| * //Relation de Chasles// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors pour tout $c\in[a,b]$ :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$ | * //Relation de Chasles// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors pour tout $c\in[a,b]$ : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{a}^{c}{f(t)\mathrm{d} t}+\int_{c}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$ |
| * //Positivité// : Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$ alors : | * //Positivité// : Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$ alors : |
| * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\geqslant0$, | * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\geqslant0$, |
| * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=0$ si et seulement si $f$ est nulle sur $[a,b]$. | * $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=0$ si et seulement si $f$ est nulle sur $[a,b]$. |
| * //Croissance// : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a<b$ et si $f(t)\leqslant g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ alors :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ | * //Croissance// : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a<b$ et si $f(t)\leqslant g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ alors : $$\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$$ |
| * //Inégalité triangulaire// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors :\\ $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{\left|f(t)\right|\mathrm{d} t}$$ | * //Inégalité triangulaire// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors : $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{\left|f(t)\right|\mathrm{d} t}$$ |
| * //Formule de la moyenne// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors :\\ $$\ds\left(\min_{[a,b]}f\right)(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\left(\max_{[a,b]}f\right)(b-a)$$Par théorème des valeurs intermédiaires :\\ $$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$ | * //Formule de la moyenne// : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ alors : $$\ds\left(\min_{[a,b]}f\right)(b-a)\leqslant\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\leqslant\left(\max_{[a,b]}f\right)(b-a)$$ Par théorème des valeurs intermédiaires (avec $a<b$) : $$\ds\exists c\in\left]a,b\right[\;/\; f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$$ |
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