Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:integrale_segment [2015/10/14 17:26] – Alain Guichet
+++ math:2:integrale_segment [2015/11/03 08:33] – [Intégrale sur un segment] Alain Guichet
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   - Soit $f$ continue sur $\R$. On pose :\\ $$\ds g(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$$
     - Montrer que cela définit une fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$.
-    - Montrer que $g$ se prolonge par continuité en 0 et préciser alors $g(0)$.\\ Dans le cas où $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$, montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et que $g'(0)=\dfrac{f'(0)}{2}$.
+    - Montrer que $g$ se prolonge par continuité en 0 et préciser alors $g(0)$.
+    - Montrer que si $f$ est dérivable en 0 alors $g$ est dérivable en 0 et que : $g'(0)=\dfrac{f'(0)}{2}$
+    - Montrer que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ alors $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$.
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 __**Exemples**__
   - Soit $f$ continue sur $[0,1]$ telle que :\\ $$\ds\int_{0}^{1}{f(t)\mathrm{d} t}=\frac{1}{2}$$Montrer qu'il existe un réel $a\in\left]0,1\right[$ tel que :\\ $$f(a)=a$$
-  - Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. On suppose, de plus, que $f$ est croissante sur $[a,b]$ et que $g$ est positive sur $[a,b]$.
+  - Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ avec $a<b$. On suppose, de plus, que $f$ est croissante sur $[a,b]$ et que $g$ est positive sur $[a,b]$.
     - Justifier que :\\ $$\ds\forall t\in[a,b],\; f(a)g(t)\leqslant f(t)g(t)\leqslant f(b)g(t)$$
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