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| math:2:integrale_impropre [2020/06/08 19:04] – Alain Guichet | math:2:integrale_impropre [2020/10/14 15:21] (Version actuelle) – [Intégrales généralisées ou intégrales impropres] Alain Guichet |
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| * Soit $b\in\R\cup\{+\infty\}$. On suppose que $f$ est continue sur $\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$ avec $a\in\left]-\infty,b\right[$) et que $\ds\int_{x_{0}}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge pour un certain $x_{0}\in\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$). Alors : | * Soit $b\in\R\cup\{+\infty\}$. On suppose que $f$ est continue sur $\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$ avec $a\in\left]-\infty,b\right[$) et que $\ds\int_{x_{0}}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge pour un certain $x_{0}\in\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$). Alors : |
| * l'intégrale $\ds\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est définie pour tout réel $x\in\left]-\infty,b\right[$ (resp. $x\in\left[a,b\right[$), | * l'intégrale $\ds\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est définie pour tout réel $x\in\left]-\infty,b\right[$ (resp. $x\in\left[a,b\right[$), |
| * la fonction $F\colon x\mapsto\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$) et :\\ $$\ds\forall x\in\left]-\infty,b\right[\;(\textrm{resp.}\;[a,b[),\; F'(x)=-f(x)$$c'est à dire que $F$ est la primitive de $-f$ sur $\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$) qui admet 0 pour limite en $b$. | * la fonction $\ds F\colon x\mapsto\int_{x}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$) et :\\ $$\ds\forall x\in\left]-\infty,b\right[\;(\textrm{resp.}\;[a,b[),\; F'(x)=-f(x)$$c'est à dire que $F$ est la primitive de $-f$ sur $\left]-\infty,b\right[$ (resp. $\left[a,b\right[$) qui admet 0 pour limite en $b$. |
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