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math:2:integrale_fonction_signe_variable

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math:2:integrale_fonction_signe_variable [2020/05/25 18:48] Alain Guichetmath:2:integrale_fonction_signe_variable [2020/05/25 18:50] (Version actuelle) Alain Guichet
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 __**Exemple**__ __**Exemple**__
  
-On suppose que $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ sont absolument convergentes ($-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Montrer que $\ds\int_{a}^{b}{(f(t)+g(t))\mathrm{d} t}$ est absolument convergente et comparer les réels :\\ $$\ds\int_{a}^{b}{|f(t)+g(t)|\mathrm{d} t}$$$$\ds\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}+\int_{a}^{b}{|g(t)|\mathrm{d} t}$$+On suppose que $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ et $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ sont absolument convergentes ($-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Montrer que $\ds\int_{a}^{b}{(f(t)+g(t))\mathrm{d} t}$ est absolument convergente et comparer les réels : $$\ds\int_{a}^{b}{|f(t)+g(t)|\mathrm{d} t}$$ $$\ds\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}+\int_{a}^{b}{|g(t)|\mathrm{d} t}$$
  
  
 <box 100% red round | **Théorème : Inégalité triangulaire ou lien convergence absolue et convergence**> <box 100% red round | **Théorème : Inégalité triangulaire ou lien convergence absolue et convergence**>
  
-Soit $f$ continue sur $[a,b[$. Si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est absolument convergente alors elle est convergente et on a :\\ $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}$$+Soit $f$ continue sur $\left[a,b\right[$. Si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ est absolument convergente alors elle est convergente et on a : $$\ds\left|\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}\right|\leqslant\int_{a}^{b}{|f(t)|\mathrm{d} t}$$
  
 </box> </box>
Ligne 28: Ligne 28:
 <box 100% red round | **Théorème : Théorème de comparaison (2nde partie)**> <box 100% red round | **Théorème : Théorème de comparaison (2nde partie)**>
  
-Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b[$, si $g$ est positive au voisinage de $b$ et si $f(t)\underset{t\to b}{=}o(g(t))$ alors :+Si $f$ et $g$ sont continues sur $\left[a,b\right[$, si $g$ est positive au voisinage de $b$ et si $f(t)\underset{t\to b}{=}o(g(t))$ alors :
   * si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$,   * si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ converge en $b$,
   * si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$.   * si l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$ alors l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{g(t)\mathrm{d} t}$ diverge en $b$.
math/2/integrale_fonction_signe_variable.txt · Dernière modification : 2020/05/25 18:50 de Alain Guichet