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math:2:integrale_fonction_positive

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math:2:integrale_fonction_positive [2020/06/11 23:03]
Alain Guichet
math:2:integrale_fonction_positive [2020/06/11 23:05] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 Soit $\alpha$ un réel. Alors : Soit $\alpha$ un réel. Alors :
-  * L'​intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en $+\infty$, converge si et seulement si $\alpha>​1$.\\ De plus, en cas de convergence,​ on a: $$\ds\forall\alpha>​1,​\;​\int_{1}^{+\infty}{\frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}}}=\frac{1}{\alpha-1}$$ +  * L'​intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en $+\infty$, converge si et seulement si $\alpha>​1$.\\ De plus, en cas de convergence,​ on a: $$\ds\forall\alpha>​1,​\;​\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}=\frac{1}{\alpha-1}$$ 
-  * L'​intégrale $\ds\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en 0, converge si et seulement si $\alpha<​1$.\\ De plus, dans les cas de convergence,​ on a : $$\ds\forall\alpha<​1,​\;​\int_{0}^{1}{\frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}}}=\frac{1}{1-\alpha}$$ Plus généralement,​ les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $a$) et $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $b$), convergent si et seulement si $\alpha<​1$ (par changement de variable respectif $t=\frac{x-a}{b-a}$ et $t=\frac{b-x}{b-a}$).\\ De plus, dans les cas de convergence,​ on a : $$\ds\forall\alpha<​1,​\;​\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$+  * L'​intégrale $\ds\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en 0, converge si et seulement si $\alpha<​1$.\\ De plus, dans les cas de convergence,​ on a : $$\ds\forall\alpha<​1,​\;​\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}=\frac{1}{1-\alpha}$$ Plus généralement,​ les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $a$) et $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $b$), convergent si et seulement si $\alpha<​1$ (par changement de variable respectif $t=\frac{x-a}{b-a}$ et $t=\frac{b-x}{b-a}$).\\ De plus, dans les cas de convergence,​ on a : $$\ds\forall\alpha<​1,​\;​\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$
    
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math/2/integrale_fonction_positive.txt · Dernière modification: 2020/06/11 23:05 par Alain Guichet