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math:2:integrale_fonction_positive [2020/06/11 23:02] – Alain Guichet | math:2:integrale_fonction_positive [2020/06/11 23:05] – Alain Guichet |
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Soit $\alpha$ un réel. Alors : | Soit $\alpha$ un réel. Alors : |
* L'intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en $+\infty$, converge si et seulement si $\alpha>1$.\\ De plus, en cas de convergence, on a: $$\ds\forall\alpha>1,\;\int_{1}^{+\infty}{\frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}}}=\frac{1}{\alpha-1}$$ | * L'intégrale $\ds\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en $+\infty$, converge si et seulement si $\alpha>1$.\\ De plus, en cas de convergence, on a: $$\ds\forall\alpha>1,\;\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}=\frac{1}{\alpha-1}$$ |
* L'intégrale $\ds\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en 0, converge si et seulement si $\alpha<1$.\\ De plus, dans les cas de convergence, on a : $$\ds\forall\alpha<1,\;\int_{0}^{1}{\frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}}}=\frac{1}{1-\alpha}$$ Plus généralement, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $a$) et $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $b$), convergent si et seulement si $\alpha<1$ (par changement de variable respectif $\ds t=\frac{b-x}{b-a}$ et $\ds t=\frac{x-a}{b-a}$).\\ De plus, dans les cas de convergence, on a : $$\ds\forall\alpha<1,\;\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$ | * L'intégrale $\ds\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}$, impropre en 0, converge si et seulement si $\alpha<1$.\\ De plus, dans les cas de convergence, on a : $$\ds\forall\alpha<1,\;\int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}\mathrm{d} t}=\frac{1}{1-\alpha}$$ Plus généralement, les intégrales $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $a$) et $\ds\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}$ (impropre en $b$), convergent si et seulement si $\alpha<1$ (par changement de variable respectif $t=\frac{x-a}{b-a}$ et $t=\frac{b-x}{b-a}$).\\ De plus, dans les cas de convergence, on a : $$\ds\forall\alpha<1,\;\int_{a}^{b}{\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^{\alpha}}\mathrm{d} x}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$$ |
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__**Exemple**__ | |
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Soit $(a,b)\in\R^{2}$ tel que $a<b$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante de convergence puis calculer l'intégrale $\ds\int_{a}^{b}{\frac{\mathrm{d} t}{(b-t)^{\alpha}}}$ en fonction de $\alpha$. | |
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