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math:2:independance_mutuelle

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math:2:independance_mutuelle [2020/06/22 10:38] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 <box red round 100% | **Théorème : Stabilité par somme indépendante**>​ <box red round 100% | **Théorème : Stabilité par somme indépendante**>​
  
-Soit un entier $n\geqslant2$. Soit $X_{1},​\dots X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes de $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$. Alors :\\ $$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(1,​p)\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(n,​p)$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{i},​p)\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{1}+\dots+m_{n},​p)$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{i})\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n})$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{i})\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{1}+\dots+\nu_{n})$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{i},​\sigma_{i}^{2})\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+\dots+m_{n},​\sigma_{1}^{2}+\dots+\sigma_{n}^{2})$$+Soit un entier $n\geqslant2$. Soit $X_{1},​\dots X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes de $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$. Alors : $$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(1,​p)\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(n,​p)$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{i},​p)\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{1}+\dots+m_{n},​p)$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{i})\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n})$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{i})\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{1}+\dots+\nu_{n})$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,​n\rrbracket,​\;​ X_{i}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{i},​\sigma_{i}^{2})\right] \implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+\dots+m_{n},​\sigma_{1}^{2}+\dots+\sigma_{n}^{2})$$
  
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 <box red round 100% | **Théorème : Caractérisation de l'​indépendance dans le cas discret** (admis)> <box red round 100% | **Théorème : Caractérisation de l'​indépendance dans le cas discret** (admis)>
  
-Soit $(X_{n})_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires discrètes de $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$. Cette suite est mutuellement indépendante si et seulement si, pour tout tout entier $n\geqslant2$,​ pour toute liste $k_{1}<​k_{2}<​\dots<​k_{n}$ d'​entiers naturels, pour tout $n$-uplet $(x_{1},​\dots,​x_{n})\in X_{k_{1}}(\Omega)\times\dots\times X_{k_{n}}(\Omega)$,​ on a :\\ $$\mathbb{P}(\left[X_{k_{1}}=x_{1}\right]\cap\dots\cap\left[X_{k_{n}}=x_{n}\right])=\mathbb{P}(X_{k_{1}}=x_{1})\times\dots\times\mathbb{P}(X_{k_{n}}=x_{n})$$+Soit $(X_{n})_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires discrètes de $(\Omega,​\mathcal{A},​\mathbb{P})$. Cette suite est mutuellement indépendante si et seulement si, pour tout tout entier $n\geqslant2$,​ pour toute liste $k_{1}<​k_{2}<​\dots<​k_{n}$ d'​entiers naturels, pour tout $n$-uplet $(x_{1},​\dots,​x_{n})\in X_{k_{1}}(\Omega)\times\dots\times X_{k_{n}}(\Omega)$,​ on a : $$\mathbb{P}(\left[X_{k_{1}}=x_{1}\right]\cap\dots\cap\left[X_{k_{n}}=x_{n}\right])=\mathbb{P}(X_{k_{1}}=x_{1})\times\dots\times\mathbb{P}(X_{k_{n}}=x_{n})$$
  
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 __**Exemples**__ __**Exemples**__
  
-  - Soit $(X_{n})_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi. On suppose que cette loi admet une espérance. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ admettant une espérance et indépendante de la suite $(X_{n})_{n\in\N^*}$. On définit la variable aléatoire $S$ par :\\ $$\forall\omega\in\Omega,​\;​ S(\omega)=X_{1}(\omega)+\dots+X_{N(\omega)}(\omega)$$Pour tout entier $n\in\N$, que vaut $\mathbb{E}(S\mid[N=n])$ ? En déduire que : $\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(N)\mathbb{E}(X_{1})$.+  - Soit $(X_{n})_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi. On suppose que cette loi admet une espérance. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ admettant une espérance et indépendante de la suite $(X_{n})_{n\in\N^*}$. On définit la variable aléatoire $S$ par : $$\forall\omega\in\Omega,​\;​ S(\omega)=X_{1}(\omega)+\dots+X_{N(\omega)}(\omega)$$Pour tout entier $n\in\N$, que vaut $\mathbb{E}(S\mid[N=n])$ ? En déduire que : $\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(N)\mathbb{E}(X_{1})$.
   - Soit $(X_{n})_{n\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{G}(p)$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendantes des variables $X_{n}$ et dont la loi de probabilité est la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\max(X_{1},​\dots,​X_{N})$. Déterminer la loi de $S$. La variable aléatoire $S$ admet-elle une espérance ?   - Soit $(X_{n})_{n\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{G}(p)$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendantes des variables $X_{n}$ et dont la loi de probabilité est la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\max(X_{1},​\dots,​X_{N})$. Déterminer la loi de $S$. La variable aléatoire $S$ admet-elle une espérance ?
  
  
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math/2/independance_mutuelle.txt · Dernière modification: 2020/06/22 10:38 par Alain Guichet