Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:independance_mutuelle [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1
+++ math:2:independance_mutuelle [2020/06/22 10:38] (Version actuelle) – Alain Guichet
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 <box red round 100% | **Théorème : Stabilité par somme indépendante**>
-Soit un entier $n\geqslant2$. Soit $X_{1},\dots X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Alors :\\ $$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{i},p)\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{1}+\dots+m_{n},p)$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{i})\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n})$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{i})\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{1}+\dots+\nu_{n})$$$$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{i},\sigma_{i}^{2})\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+\dots+m_{n},\sigma_{1}^{2}+\dots+\sigma_{n}^{2})$$
+Soit un entier $n\geqslant2$. Soit $X_{1},\dots X_{n}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Alors : $$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{i},p)\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{B}(m_{1}+\dots+m_{n},p)$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{i})\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n})$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{i})\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{\gamma}(\nu_{1}+\dots+\nu_{n})$$ $$\left[\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; X_{i}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{i},\sigma_{i}^{2})\right]	\implies X_{1}+\dots+X_{n}\hookrightarrow\mathcal{N}(m_{1}+\dots+m_{n},\sigma_{1}^{2}+\dots+\sigma_{n}^{2})$$
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 <box red round 100% | **Théorème : Caractérisation de l'indépendance dans le cas discret** (admis)>
-Soit $(X_{n})_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires discrètes de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Cette suite est mutuellement indépendante si et seulement si, pour tout tout entier $n\geqslant2$, pour toute liste $k_{1}<k_{2}<\dots<k_{n}$ d'entiers naturels, pour tout $n$-uplet $(x_{1},\dots,x_{n})\in X_{k_{1}}(\Omega)\times\dots\times X_{k_{n}}(\Omega)$, on a :\\ $$\mathbb{P}(\left[X_{k_{1}}=x_{1}\right]\cap\dots\cap\left[X_{k_{n}}=x_{n}\right])=\mathbb{P}(X_{k_{1}}=x_{1})\times\dots\times\mathbb{P}(X_{k_{n}}=x_{n})$$
+Soit $(X_{n})_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires discrètes de $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Cette suite est mutuellement indépendante si et seulement si, pour tout tout entier $n\geqslant2$, pour toute liste $k_{1}<k_{2}<\dots<k_{n}$ d'entiers naturels, pour tout $n$-uplet $(x_{1},\dots,x_{n})\in X_{k_{1}}(\Omega)\times\dots\times X_{k_{n}}(\Omega)$, on a : $$\mathbb{P}(\left[X_{k_{1}}=x_{1}\right]\cap\dots\cap\left[X_{k_{n}}=x_{n}\right])=\mathbb{P}(X_{k_{1}}=x_{1})\times\dots\times\mathbb{P}(X_{k_{n}}=x_{n})$$
 </box>
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 __**Exemples**__
-  - Soit $(X_{n})_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi. On suppose que cette loi admet une espérance. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ admettant une espérance et indépendante de la suite $(X_{n})_{n\in\N^*}$. On définit la variable aléatoire $S$ par :\\ $$\forall\omega\in\Omega,\; S(\omega)=X_{1}(\omega)+\dots+X_{N(\omega)}(\omega)$$Pour tout entier $n\in\N$, que vaut $\mathbb{E}(S\mid[N=n])$ ? En déduire que : $\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(N)\mathbb{E}(X_{1})$.
+  - Soit $(X_{n})_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi. On suppose que cette loi admet une espérance. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ admettant une espérance et indépendante de la suite $(X_{n})_{n\in\N^*}$. On définit la variable aléatoire $S$ par : $$\forall\omega\in\Omega,\; S(\omega)=X_{1}(\omega)+\dots+X_{N(\omega)}(\omega)$$Pour tout entier $n\in\N$, que vaut $\mathbb{E}(S\mid[N=n])$ ? En déduire que : $\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(N)\mathbb{E}(X_{1})$.
   - Soit $(X_{n})_{n\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{G}(p)$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendantes des variables $X_{n}$ et dont la loi de probabilité est la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\max(X_{1},\dots,X_{N})$. Déterminer la loi de $S$. La variable aléatoire $S$ admet-elle une espérance ?
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