Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:independance_mutuelle [2015/12/17 10:36] – Alain Guichet
+++ math:2:independance_mutuelle [2020/05/10 21:19] – modification externe 127.0.0.1
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+__**Exemple**__
+Soit $(X_{n})_{n\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{U}([a,b])$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendantes des variables $X_{n}$ et dont la loi de probabilité est la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\max(X_{1},\dots,X_{N})$. Déterminer la loi de $S$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire à densité. Admet-elle une espérance ? La calculer le cas échéant.
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-__**Exemple**__
+__**Exemples**__
-Soit $(X_{n})_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi. On suppose que cette loi admet une espérance. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ admettant une espérance et indépendante de la suite $(X_{n})_{n\in\N^*}$. On définit la variable aléatoire $S$ par :\\ $$\forall\omega\in\Omega,\; S(\omega)=X_{1}(\omega)+\dots+X_{N(\omega)}(\omega)$$Pour tout entier $n\in\N$, que vaut $\mathbb{E}(S\mid[N=n])$ ? En déduire que : $\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(N)\mathbb{E}(X_{1})$.
+  - Soit $(X_{n})_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi. On suppose que cette loi admet une espérance. Soit $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ admettant une espérance et indépendante de la suite $(X_{n})_{n\in\N^*}$. On définit la variable aléatoire $S$ par :\\ $$\forall\omega\in\Omega,\; S(\omega)=X_{1}(\omega)+\dots+X_{N(\omega)}(\omega)$$Pour tout entier $n\in\N$, que vaut $\mathbb{E}(S\mid[N=n])$ ? En déduire que : $\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(N)\mathbb{E}(X_{1})$.
+  - Soit $(X_{n})_{n\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi $\mathcal{G}(p)$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendantes des variables $X_{n}$ et dont la loi de probabilité est la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : $S=\max(X_{1},\dots,X_{N})$. Déterminer la loi de $S$. La variable aléatoire $S$ admet-elle une espérance ?
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