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math:2:generalites_densites

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math:2:generalites_densites [2020/06/14 21:32] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 __**Exemples**__ __**Exemples**__
  
-  - Soit $\ds f\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t>0 \end{cases}$ et $g\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \si\; t<0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \si\; t\geqslant0 \end{cases}$.+  - Soit $\ds f\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t>0 \end{cases}$ et $g\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t<0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t\geqslant0 \end{cases}$.
     - Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions de densité. Représenter $C_{f}$ et $C_{g}$.     - Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions de densité. Représenter $C_{f}$ et $C_{g}$.
     - Montrer qu'​elles correspondent à la même fonction de répartition $F$ que l'on déterminera puis représentera.     - Montrer qu'​elles correspondent à la même fonction de répartition $F$ que l'on déterminera puis représentera.
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     - Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$. Calculer et interpréter graphiquement les probabilités :\\ $$\ds\mathbb{P}(X\leqslant-1)\quad\mathbb{P}(X=-1)\quad\mathbb{P}(-1\leqslant X\leqslant1)\quad\mathbb{P}X\geqslant1)$$     - Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$. Calculer et interpréter graphiquement les probabilités :\\ $$\ds\mathbb{P}(X\leqslant-1)\quad\mathbb{P}(X=-1)\quad\mathbb{P}(-1\leqslant X\leqslant1)\quad\mathbb{P}X\geqslant1)$$
   - Vérifier que les fonctions $f$ qui précèdent sont des densités de probabilité.\\ On peut changer la valeur de $f$ en un ou plusieurs points (avec une valeur positive) tout en conservant la même fonction de répartition.   - Vérifier que les fonctions $f$ qui précèdent sont des densités de probabilité.\\ On peut changer la valeur de $f$ en un ou plusieurs points (avec une valeur positive) tout en conservant la même fonction de répartition.
-  - Vérifier que la fonction $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\; x<-1\\ \ds\frac{(1+x)^{2}}{2} & \text{si}\;​-1\leqslant x<0\\ \ds 1-\frac{(1-x)^{2}}{2} & \text{si}\;​0\leqslant x\leqslant1\\ 1 & \text{si}\; x>1 \end{array}\right.$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité $X$ et en préciser une densité $f$. Représenter ces deux fonctions.+  - Vérifier que la fonction $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\; x< -1\\ \ds\frac{(1+x)^{2}}{2} & \text{si}\;​-1\leqslant x<0\\ \ds 1-\frac{(1-x)^{2}}{2} & \text{si}\;​0\leqslant x\leqslant1\\ 1 & \text{si}\; x>1 \end{array}\right.$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité $X$ et en préciser une densité $f$. Représenter ces deux fonctions.
   - Soit $p\in\left]0,​\frac{1}{2}\right[$. Soit $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} p\mathrm{e}^{x} & \text{si}\; x<0\\ 1-p\mathrm{e}^{-x} & \text{si}\; x\geqslant0 \end{array}\right.$.   - Soit $p\in\left]0,​\frac{1}{2}\right[$. Soit $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} p\mathrm{e}^{x} & \text{si}\; x<0\\ 1-p\mathrm{e}^{-x} & \text{si}\; x\geqslant0 \end{array}\right.$.
     - Justifier que $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$.     - Justifier que $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$.
math/2/generalites_densites.txt · Dernière modification: 2020/06/14 21:32 par Alain Guichet