math:2:generalites_densites
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__**Exemples**__ | __**Exemples**__ | ||
- | - Soit $\ds f\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t>0 \end{cases}$ et $g\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \si\; t<0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \si\; t\geqslant0 \end{cases}$. | + | - Soit $\ds f\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t>0 \end{cases}$ et $g\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t<0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t\geqslant0 \end{cases}$. |
- Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions de densité. Représenter $C_{f}$ et $C_{g}$. | - Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions de densité. Représenter $C_{f}$ et $C_{g}$. | ||
- Montrer qu' | - Montrer qu' | ||
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- Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$. Calculer et interpréter graphiquement les probabilités :\\ $$\ds\mathbb{P}(X\leqslant-1)\quad\mathbb{P}(X=-1)\quad\mathbb{P}(-1\leqslant X\leqslant1)\quad\mathbb{P}X\geqslant1)$$ | - Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$. Calculer et interpréter graphiquement les probabilités :\\ $$\ds\mathbb{P}(X\leqslant-1)\quad\mathbb{P}(X=-1)\quad\mathbb{P}(-1\leqslant X\leqslant1)\quad\mathbb{P}X\geqslant1)$$ | ||
- Vérifier que les fonctions $f$ qui précèdent sont des densités de probabilité.\\ On peut changer la valeur de $f$ en un ou plusieurs points (avec une valeur positive) tout en conservant la même fonction de répartition. | - Vérifier que les fonctions $f$ qui précèdent sont des densités de probabilité.\\ On peut changer la valeur de $f$ en un ou plusieurs points (avec une valeur positive) tout en conservant la même fonction de répartition. | ||
- | - Vérifier que la fonction $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\; x<-1\\ \ds\frac{(1+x)^{2}}{2} & \text{si}\; | + | - Vérifier que la fonction $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\; x< -1\\ \ds\frac{(1+x)^{2}}{2} & \text{si}\; |
- Soit $p\in\left]0, | - Soit $p\in\left]0, | ||
- Justifier que $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$. | - Justifier que $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$. | ||
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- Calculer les probabilités suivantes : $\ds\mathbb{P}\left(\frac{1}{2}\leqslant X\leqslant2\right)$ et $\ds\mathbb{P}\left(X\geqslant\frac{2}{3}\right)$. | - Calculer les probabilités suivantes : $\ds\mathbb{P}\left(\frac{1}{2}\leqslant X\leqslant2\right)$ et $\ds\mathbb{P}\left(X\geqslant\frac{2}{3}\right)$. | ||
- | - Déterminer le réel $m$ tel que $\ds\mathbb{P}(X\leqslant m)=\frac{1}{2}$. Quel nom pourrait-on donner à ce réel ? | + | - Déterminer le réel $m$ tel que $\ds\mathbb{P}(X\leqslant m)=\frac{1}{2}$.\\ Quel nom pourrait-on donner à ce réel ? |
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math/2/generalites_densites.txt · Dernière modification : 2020/06/14 21:32 de Alain Guichet