Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:generalites_densites [2015/10/26 11:18] – Alain Guichet
+++ math:2:generalites_densites [2016/11/16 08:35] – [Généralités sur les variables à densité] Alain Guichet
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     - Soit $x\in\R$. En utilisant la famille d'événements $\ds\left(\left[x-\frac{1}{n}<X\leqslant x\right]\right)_{n\in\N^{*}}$, calculer $\mathbb{P}(X=x)$.
     - Soit $x<y$ deux réels. Exprimer $\mathbb{P}(x\leqslant X\leqslant y)$ à l'aide d'une intégrale. Interpréter graphiquement.
-  - //Application 1//. Soit $\lambda\in\R$ et $\ds f\colon t\mapsto\frac{\lambda}{1+t^{2}}$.
-    - Déterminer la valeur de $\lambda$ pour que $f$ satisfasse aux conditions de l'introduction. Représenter $C_{f}$.
-    - Déterminer l'expression de $F(x)$ pour tout réel $x$. Représenter $C_{F}$.
-    - Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$. Calculer et interpréter graphiquement les probabilités :\\ $$\ds\mathbb{P}(X\leqslant-1)\quad\mathbb{P}(X=-1)\quad\mathbb{P}(-1\leqslant X\leqslant1)\quad\mathbb{P}X\geqslant1)$$
-  - //Application 2//. Soit $\ds f\colon t\mapsto\begin{cases} \frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t\leqslant0\\ \frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t>0 \end{cases}$ et $g\colon t\mapsto\begin{cases} \frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \si\; t<0\\ \frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \si\; t\geqslant0 \end{cases}$.
-    - Vérifier que $f$ et $g$ satisfont aux conditions de l'introduction. Représenter $C_{f}$ et $C_{g}$.
-    - Déterminer l'expression de $F(x)$ puis celle de $G(x)$ pour tout réel $x$. Représenter $C_{F}$ et $C_{G}$.
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 __**Exemples**__
+  - Soit $\ds f\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \text{si}\; t>0 \end{cases}$ et $g\colon t\mapsto\begin{cases} \ds\frac{1}{2}\mathrm{e}^{t} & \si\; t<0\\ \ds\frac{1}{2}t\mathrm{e}^{-t} & \si\; t\geqslant0 \end{cases}$.
+    - Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions de densité. Représenter $C_{f}$ et $C_{g}$.
+    - Montrer qu'elles correspondent à la même fonction de répartition $F$ que l'on déterminera puis représentera.
+  - Soit $\lambda\in\R$ et $\ds f\colon t\mapsto\frac{\lambda}{1+t^{2}}$.
+    - Déterminer la valeur de $\lambda$ pour que $f$ satisfasse aux conditions de la seconde situation. Représenter $C_{f}$.
+    - Déterminer l'expression de $F(x)$ pour tout réel $x$. Représenter $C_{F}$.
+    - Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$. Calculer et interpréter graphiquement les probabilités :\\ $$\ds\mathbb{P}(X\leqslant-1)\quad\mathbb{P}(X=-1)\quad\mathbb{P}(-1\leqslant X\leqslant1)\quad\mathbb{P}X\geqslant1)$$
   - Vérifier que les fonctions $f$ qui précèdent sont des densités de probabilité.\\ On peut changer la valeur de $f$ en un ou plusieurs points (avec une valeur positive) tout en conservant la même fonction de répartition.
   - Vérifier que la fonction $F\colon x\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si}\; x<-1\\ \ds\frac{(1+x)^{2}}{2} & \text{si}\;-1\leqslant x<0\\ \ds 1-\frac{(1-x)^{2}}{2} & \text{si}\;0\leqslant x\leqslant1\\ 1 & \text{si}\; x>1 \end{array}\right.$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité $X$ et en préciser une densité $f$. Représenter ces deux fonctions.
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 __**Remarques**__
+Soit $X$ une variable aléatoire à densité.
   * Il n'y a pas unicité d'une fonction densité.
   * $F_{X}$ peut ne pas être dérivable en un nombre fini de points.
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 <box 100% red round | **Théorème**>
-Soit $X$ une variable aléatoire à densité.
+Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont on note $f$ une densité et $F_X$ sa répartition.
-  * On a : $\ds\forall x\in\R,\;\mathbb{P}(X=x)=0$.\\ En conséquence : $\ds\forall x\in\R,\;\mathbb{P}(X<x)=\mathbb{P}(X\leqslant x),\;\mathbb{P}(X>x)=\mathbb{P}(X\geqslant x)$.
+  * On a : $\ds\forall x\in\R,\;\mathbb{P}(X=x)=0$.\\ Ainsi :\\ $$\ds\forall x\in\R,\;\mathbb{P}(X<x)=\mathbb{P}(X\leqslant x),\;\mathbb{P}(X>x)=\mathbb{P}(X\geqslant x)$$
-  * Soit $f$ une densité de $X$. Alors : $\ds\forall x\in\R,\;\mathbb{P}(X\leqslant x)=F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$.\\ En conséquences :
+  * On a : $\ds\forall x\in\R,\;F_{X}(x)=\mathbb{P}(X\leqslant x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)\mathrm{d} t}$.\\ En conséquences :
     * $\ds\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\mathrm{d} t}=1$
     * $\ds\forall x\in\R,\;\mathbb{P}(X\geqslant x)=\int_{x}^{+\infty}{f(t)\mathrm{d} t}$
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   -
     - Calculer les probabilités suivantes : $\ds\mathbb{P}\left(\frac{1}{2}\leqslant X\leqslant2\right)$ et $\ds\mathbb{P}\left(X\geqslant\frac{2}{3}\right)$.
-    - Déterminer le réel $m$ tel que $\ds\mathbb{P}(X\leqslant m)=\frac{1}{2}$. Quel nom pourrait-on donner à ce réel ?
+    - Déterminer le réel $m$ tel que $\ds\mathbb{P}(X\leqslant m)=\frac{1}{2}$.\\ Quel nom pourrait-on donner à ce réel ?
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